1、专题强化训练1(2019杭州二中月考)已知直线3xy10的倾斜角为，则sin 2cos2()A.BC.D解析：选A.由题设知ktan 3，于是sin 2cos2.2(2019义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A. B.C5 D10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选D.3(2019杭州七市联考)已知圆C：(x1)2y2r2(r0)设条件p：0r3，条件q：圆C上至多有2个
2、点到直线xy30的距离为1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.圆C：(x1)2y2r2(r0)，圆心(1，0)到直线xy30的距离d2.由条件q：圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1，可得0r3.则p是q的充要条件故选C.4在平面直角坐标系xOy中，设直线l：ykx1与圆C：x2y24相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于()A1 B2C1 D0解析：选D.由题意知圆心到直线l的距离等于r1(r为圆C的半径)，所以1，解得k0.5(2019兰州市诊断考试)已知圆C：(x)2(y1)
3、21和两点A(t，0)，B(t，0)(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则t的取值范围是()A(0，2 B1，2C2，3 D1，3解析：选D.依题意，设点P(cos ，1sin )，因为APB90，所以0，所以(cos t)(cos t)(1sin )20，得t252cos 2sin 54sin()，因为sin()1，1，所以t21，9，因为t0，所以t1，36圆C：x2y2DxEy30(D0，E为整数)的圆心C到直线4x3y30的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|4，则E的值为()A4 B4 C8 D8解析：选C.圆心C.由题意得1，即|4D3E6|10，在圆C：x2y2Dx
4、Ey30中，令y0得x2Dx30.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1x2D，x1x23.由|MN|4得|x1x2|4，即(x1x2)24x1x216，(D)24(3)16.由D0，所以D2.将D2代入得|3E14|10，所以E8或E(舍去)7动点A与两个定点B(1，0)，C(5，0)的距离之比为，则ABC面积的最大值为()A3 B6 C9 D12解析：选D.设A点坐标为(x，y)因为，所以2，化简得x2y26x70，即(x3)2y216.所以A的轨迹表示以(3，0)为圆心，半径为4的圆所以ABC面积的最大值为Smax|BC|r6412.8(2019浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(
5、x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A、B两点，则|AB|的最小值是()A2 B4 C. D2解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求|AB|的最小值等价于求d的最大值，易知dmax，此时|AB|min24，故选B.9过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_解析：易知当CMAB时，ACB最小，直线CM的斜率为kCM2，从而直线l的斜率为kl，其方程为y1.即2x4y30.答案：2x4y3010已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C
6、2相外切，则实数m_.解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切答案：5或211已知圆C：(x1)2(y2)22，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为_解析：已知圆C：(x1)2(y2)22，所以圆心为C(1，2)，半径r，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PCAB.在PAC中，APC30，由正
7、弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值为2.答案：212(2019台州调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，2)两点，过点M(1，2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为_解析：依题意得，动圆C的半径不小于|AB|，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，1)，又点M的坐标为(1，2)，且|CM|，所以点M位于圆C内，点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF|最小，其最小值为22.答案：213(2019宁波市余姚中学期中检测)设直线系M：xcos (y2)s
8、in 1(02)，对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点；存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)解析：因为点(0，2)到直线系M：xcos (y2)sin 1(02)中每条直线的距离d1，直线系M：xcos (y2)sin 1(02)表示圆x2(y2)21的切线的集合，由于直线系表示圆x2(y2)21的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故不正确；存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故
9、正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故正确；如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如ABB型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故不正确答案：14(2019南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y(x1)上从左向右依次取点Ak，Bk(k1，2，其中A1是坐标原点)，使AkBkAk1都是等边三角形，则A10B10A11的边长是_解析：直线y(x1)的倾斜角为30，与x轴的交点
10、为P(1，0)，又A1B1A2是等边三角形，所以PB1A290，所以等边A1B1A2的边长为1，且A2B1A3B2A10B9，A2B1与直线y(x1)垂直，故A2B1B2，A3B2B3，A4B3B4，A10B9B10均为直角三角形，且依次得到A2B22，A3B34，A4B48，A5B516，A6B632，A7B764，A8B8128，A9B9256，A10B10512，故A10B10A11的边长是512.答案：51215在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点
11、的圆在y轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为yx2(x)由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(，)，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值16已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程
12、；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解：(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为ykx，由，得k2；所以此切线方程为y(2)x.当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.所以此切线方程为xy10或xy30.综上，此切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，即xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130，即点P
13、在直线l：2x4y30上，当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线POl，所以直线PO的方程为2xy0.解方程组，得，故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.17.(2019杭州市高三期末考试)如图，P是直线x4上一动点，以P为圆心的圆经定点B(1，0)，直线l是圆在点B处的切线，过A(1，0)作圆的两条切线分别与l交于E，F两点(1)求证：|EA|EB|为定值；(2)设直线l交直线x4于点Q，证明：|EB|FQ|BF|EQ|.证明：(1)设AE切圆于M，直线x4与x轴的交点为N，则EMEB，所以|EA|EB|AM|4为定值(2)同理|FA|FB|4，所以E，F均在椭圆1上，设直线EF
14、的方程为xmy1(m0)，令x4，yQ，直线与椭圆方程联立得(3m24)y26my90，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|FQ|BF|EQ|等价于y1y1y2y2y1y2，所以2y1y2(y1y2)，代入y1y2，y1y2成立，所以|EB|FQ|BF|EQ|.18(2019金华十校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a，0)，则2a0或a5(舍)所以圆C：x2y24.(2)存在当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4，0)时，x轴平分ANB.
