1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(三)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.设an是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.+B.+C.+D.n2+n【解析】选A.设数列an的公差为d,则根据题意得(2+2d)2=2(2+5d),解得d=或d=0(舍去),所以数列an的前n项和Sn=2n+=+.2.(2014金华模拟)设等差数列an的前n项和是Sn,若-ama10,且Sm+10B.Sm0C.Sm0,且Sm+10D.Sm0,
2、且Sm+10【解析】选A.因为-ama10,且a1+am+10,且Sm+10时,若x=n,nN*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为()A.B.2C.1D. 4【解析】选A.an=,=,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2
3、,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.5.把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为()A.B.C.D.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20.由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),所以24d=11a,所以d=,所以,最小的一份为a-2d=20-=.【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语
4、言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.二、填空题(每小题6分,共18分)6.(2014太原模拟)已知正项等差数列an满足:an+1+an-1=(n2),等比数列bn满足:bn+1bn-1=2bn(n2),则log2(a2+b2)的值等于.【解析】由题意可知an+1+an-1=2an=,解得an=2(n2)(由于数列an每项都是正数,故an=0舍去),又bn+1bn-1=2bn(n2),所以bn=2(n2),所以log2(a2+b2)=log24=2.答案:27.数列
5、an中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是.【解析】根据题意结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+.所以n=7时,a7=108为最大值.答案:108【加固训练】已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=3,数列an满足an=f(n),则+=.【解析】令y=1得f(x+1)=3f(x),故a1=3,an+1=3an,即数列an是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,所以=6,所以所求结果为6n.答案:6n8.等差数列an的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,给出下列四个命题:数列为等比数列;若a2+a12=2,则S1
6、3=13;Sn=nan-d;若d0,则Sn一定有最大值.其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号).【解析】对于,注意到=是一个非零常数,因此数列是等比数列,正确.对于,S13=13,因此正确.对于,注意到Sn=na1+d=nan-(n-1)d+d=nan-d,因此正确.对于,Sn=na1+d,d0时,Sn不存在最大值,因此不正确.综上所述,其中真命题的序号是.答案:三、解答题(每小题13分,共52分)9.(2014台州模拟)已知正项等差数列an满足a1+a6=a2(a3-1),公比为q的等比数列bn的前n项和Sn满足2S1+S3=3S2,a1=b1=1.(1)求数列an的通项公式和公比q的值
7、.(2)设数列的前n项和为Tn,求使不等式3Tnbn+2+7成立的n的最小值.【解析】(1)因为a1=1,a1+a6=a2(a3-1),所以2+5d=(1+d)(1+2d-1),得d=2或d=-(舍).所以an=2n-1.由b1=1,2S1+S3=3S2,所以2+(1+q+q2)=3(1+q),所以q=0或q=2.因为bn为等比数列,所以q=2.(2)由(1)知bn=2n-1,所以=22n-2=4n-1,所以Tn=,因为3Tnbn+2+7,所以4n-12n+1+7,即(2n)2-22n-80,得2n4.所以n2,即n的最小值为3.【加固训练】已知等比数列an满足2a1+a3=3a2,且a3+2
8、是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+bn,求使Sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(q0),由得由得q2-3q+2=0,解得q=1或q=2,当q=1时,式不成立,不符合题意,应舍去,当q=2时,代入得a1=2,则an=22n-1=2n.(2)因为bn=an+log2=2n+log2=2n-n,记cn=n,则bn=an-cn,数列an的前n项和An=2n+1-2,数列cn的前n项和Cn=,所以数列bn的前n项和Sn=An-Cn=2n+1-2-n(n+1),Sn-2n+1+470,即2n
9、+1-2-n-n2-2n+1+470,解得n9或n-10.故使Sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值为10.10.等差数列an中,首项a1=1,公差d0,已知数列,成等比数列,其中k1=1,k2=2,k3=5.(1)求数列an,kn的通项公式.(2)当nN*,n2时,求和:Sn=+.【解析】(1)=a1a5(1+d)2=1(1+4d)d=2,所以an=2n-1,所以=2kn-1,又等比数列中,公比q=3,所以=3n-1,所以2kn-1=3n-1kn=.(2)Sn=+,Sn=+,相减得到:Sn=1+-=1+2-=2-,所以Sn=3-.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4
10、n,0),且f(0)=2n,nN*.(1)求f(x)的解析式.(2)若数列an满足=f,且a1=4,求数列an的通项公式.(3)记bn=,Tn为数列bn的前n项和,求证:Tn2.【解析】(1)f(x)=2ax+b,由题意知b=2n,16n2a-4nb=0,所以a=,b=2n,则f(x)=x2+2nx,nN*.(2)数列an满足=f,又f(x)=x+2n,所以=+2n,所以-=2n,-=2+4+6+2(n-1)=n2-n=an=(nN*),当n=1时,a1=4也符合.(3)bn=2,Tn=b1+b2+bn=+=2=2.因为2n+13,所以2,又22,所以Tn1,又Pn0,则Pn=f(n)=(2n
11、-1)1.1n-1%为增函数.再验证:P7=131.16%23.03%20%,P6=111.15%17.72%20%,故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.【加固训练】一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件.当对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为an(nN*)件,调查发现:每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加件,每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加件,每日播n次,该产品的日销售an件在每日播n-1次时的日销售量an-1件的基础上增加件.合同约定:每播一次企业需支付广告费2b元.(1)试求出an与n的关系式
12、.(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次.【解析】(1)由题意,电视广告日播k次时,该产品的日销售量ak满足ak=ak-1+(kN*,a0=b),所以an=b+=b+b=b(nN*).所以,该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an=b(nN*).(2)该企业每日播放电视广告n次时获利为Cn=100b-2bn=100b(nN*).因为Cn-Cn-1=100b0即2n50,nN*,所以n5(nN*),因为Cn+1-Cn=100b02n25n5,所以n=5.所以要使该产品每日获得的利润最大,则每日电视广告需播5次.【加固训练】(2014常州
13、模拟)如果有穷数列a1,a2,a3,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am-1,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,3,4,3,2,1与数列a,b,c,c,b,a都是“对称数列”.(1)设bn是8项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=1,b5=13.依次写出bn的每一项.(2)设cn是2m+1项的“对称数列”,其中cm+1,cm+2,c2m+1是首项为a,公比为q的等比数列,求cn的各项和S.(3)设en是2m项的“对称数列”,其中em+1,em+2,e2m是首项为a,公差为d的等差数列,求en的前n
14、项和Sn(n=1,2,3,2m).【解析】(1)设数列bn前4项的公差为d,b4=b1+3d=1+3d.又因为b4=b5=13,解得d=4,所以数列bn为1,5,9,13,13,9,5,1.(2)S=c1+c2+c2m+1=2(cm+1+cm+2+c2m+1)-cm+1=2a(1+q+q2+qm)-a=2a-a(q1).而当q=1时,S=(2m+1)a.所以S=(3)em+1=a,e2m=a+d(m-1).由题意得e1,e2,em是首项为a+d(m-1),公差为-d的等差数列.当nm时,Sn=e1+e2+en=a+d(m-1)n+(-d)=-n2+n;当m+1n2m时,Sn=e1+e2+en=Sm+(em+1+em+2+en)=-m2+m+(n-m)a+d=n2+n+m2d.综上所述:Sn=关闭Word文档返回原板块
