1、3.4函数的应用(一)学 习 目 标核 心 素 养1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)分段函数模型f(x)1一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()Ay20x,0x10By202x,0x20Cy40x,0x1
2、0Dy402x,0x20答案A2一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A一次函数模型 B二次函数模型C分段函数模型 D无法确定C由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型3某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元60设涨价x元，销售的利润为y元，则y(50x45)(502x)2x240x2502(x10)2450，所以当x10，即销售价为60元时，y取得最大值一次函数模型的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x
3、(套)之间的关系为y6x30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A2 000套B3 000套C4 000套 D5 000套D因利润z12x(6x30 000)，所以z6x30 000，由z0解得x5 000，故至少日生产文具盒5 000套1一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则2一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式axb0(或0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值 1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图
4、象根据图象填空：通话2分钟，需要付电话费_元；通话5分钟，需要付电话费_元；如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_3.66y1.2t(t3)由图象可知，当t3时，电话费都是3.6元由图象可知，当t5时，y6，需付电话费6元易知当t3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y1.2t(t3)二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系
5、式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路点拨本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x50,55，xN，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题解(1)根据题意，得y903(x50)，化简，得y3x240(50x55，xN)(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润所以w(x40)(3x240)3x2360x9 600(5
6、0x55，xN)(3)因为w3x2360x9 6003(x60)21 200，所以当x60时，w随x的增大而增大又50x55，xN，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元二次函数模型的解析式为g(x)ax2bxc(a0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.2A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为
7、保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小解(1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y120x2.设乙城的月供电费用为y2，则y210(100x)2，甲、乙两城月供电总费用y20x210(100x)2.0.25，y5x2(100x)2(10x90)(2)由y5x2(100x)2x2500x25 0002，则当x时，y最小故当核电站建在距A城 k
8、m时，才能使供电总费用最小分段函数模型的应用【例3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5tt2(万元)(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当05时，产品只能售出500件所以f(x)即f(x)(2)当05时，f(x)120.25510.75(万元)故当年产量为475件时，当年所得利润最大1分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏2分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集3分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论3已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；(2)求汽车行驶5小时与A地的距离解(1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x60t；当2.51 000得，x，故每天至少需要卖出234张门票