1、2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2013黄浦区二模）若复数z满足，则z的值为3i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：直接利用行列式的计算方法求出复数z的方程，然后求出复数z即可解答：解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=9，所以z=3i故答案为：3i点评：本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力2（4分）（2013黄浦区二模）函数的定义域为1，2）考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：根据使函数的解析式
2、有意义的原则，我们可以根据偶次被开方数不小于0，对数的真数大于0，构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到函数的定义域解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1x2故函数的定义域为1，2）故答案为：1，2）点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，是解答本题的关键3（4分）（2013黄浦区二模）若直线l过点A（1，3），且与直线x2y3=0垂直，则直线l的方程为2x+y1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：计算题分析：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直
3、线方程解答：解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=2所求直线的方程为y3=2（x+1）即2x+y1=0故答案为：2x+y1=0点评：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率4（4分）（2013黄浦区二模）等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案解答：解：等差数列an的前10项和为30，解得a1+a10=6由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，a1+a4+a7+a1
4、0=2（a1+a10）=26=12a1+a4+a7+a10=12故答案为12点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键5（4分）（2013黄浦区二模）执行程序框图，则输出的a值是121考点：循环结构专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断满足：a1=1、an=3an1+1求an100的最小an解答：解：a1=1a2=3a1+1=4a3=3a2+1=13a4=3a3+1=40a5=3a4+1=121，121100，退出循环故答案为：121点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理
5、方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6（4分）（2013黄浦区二模）设a为常数，函数f（x）=x24x+3，若f（x+a）在0，+）上是增函数，则a的取值范围是2，+）考点：函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知0，+）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可解答：解：因为f（x）=x24x+3，所以f（x+a）=（x+a）24（x+
6、a）+3=x2+（2a4）x+a24a+3，则f（x+a）的增区间为2a，+），又f（x+a）在0，+）上是增函数，所以2a0，解得a2，故答案为：2，+）点评：本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集7（4分）（2013黄浦区二模）在极坐标系中，直线l：cos=1被圆C：=4cos所截得的线段长为考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：先把曲线和直线的极坐标方程化为普通方程，再利用|AB|=2 （d为圆心到直线的距离）即可得出答案解答：解：圆=4cos，2=4cos，化为普通方程：x2+y2
7、=4x，即（x2）2+y2=4，圆心C（2，0），半径r=2直线l：cos=1，普通方程为x=1圆心C（2，0）到直线的距离d=1，|AB|=2 =2 =2故答案为：点评：充分理解|AB|=2 （d为圆心到直线的距离）是解题的关键当然也可以先把交点A、B的坐标求出来，再利用两点间的距离公式即可求出8（4分）（2013黄浦区二模）已知点P（2，3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质专题：计算题分析：由题意设该双曲线方程是，把点P（2，3）代入，解得a2=1或a2=16（舍），由此可知该双曲线方程为解答：解：由题意知c=2设该双曲
8、线方程是，把点P（2，3）代入，得，解得a2=1或a2=16（舍）该双曲线方程为点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答9（4分）（2013黄浦区二模）在平行四边形ABCD中，已知，点E是BC的中点，则=3考点：平面向量数量积的运算分析：利用向量的运算法则将用已知向量表示，利用向量的运算律将用已知的向量表示出，求出的值解答：解：=3故答案为3点评：本题考查利用向量的运算法则将未知向量用已知的向量表示；从而将未知向量的数量积用已知向量的数量积表示10（4分）（2013黄浦区二模）已知A，B，C是球面上三点，且AB=AC=4cm，BAC=90，若球心O到平面ABC的距离为，则
9、该球的表面积为64cm3考点：球的体积和表面积专题：计算题分析：由已知球面上三点A、B、C满足BAC=90，可得平面ABC截球所得小圆的直径等于BC长，进而求出截面圆的半径r=2，根据球的截面圆性质，算出球半径R=4，代入球的表面积公式即算出该球的表面积解答：解：AB=AC=4cm，BAC=90，BC为平面ABC截球所得小圆的直径，设小圆半径为r，得2r=4，可得半径r=2又球心O到平面ABC的距离d=2根据球的截面圆性质，得球半径R=4球的表面积S=4R2=64故答案为：64点评：本题给出球的截面圆中RtABC的形状和该截面与球心的距离，求球的表面积，着重考查了球的截面圆性质、勾股定理和球的
10、表面积公式等知识，属于基础题11（4分）（2013黄浦区二模）在ABC中，A=120，AB=5，BC=7，则的值为考点：正弦定理专题：解三角形分析：先利用余弦定理求得b=AC的值，再用正弦定理求得 = 的值解答：解：在ABC中，A=120，AB=5，BC=7，由余弦定理可得 49=25+b210bcos120，解得 b=3由正弦定理可得 =，故答案为 点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题12（4分）（2013黄浦区二模）已知（nN*）且An=a0+a1+a2+an，则=考点：数列的极限；数列的求和；二项式定理的应用专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：令x3=1可求x
11、，然后代入到已知可得，a0+a1+an=4+42+4n=An，进而可求其极限解答：解：令x3=1可得x=4代入到已知可得，a0+a1+an=4+42+4n=An=故答案为：点评：本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的系数和及数列极限的求解，解题的关键是灵活利用基本知识13（4分）（2013黄浦区二模）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是考点：离散型随机变量的
12、期望与方差专题：概率与统计分析：设表示该用户抽检次数，的取值可能为1，2，3利用古典概型的概率计算公式和概率的性质、随机变量的分布列和数学期望即可得出解答：解：设表示该用户抽检次数，的取值可能为1，2，3若抽到第一件产品为次品即停止检查，则P（=1）=若抽到第一件产品为正品，第二件品为次品即停止检查，则P（=2）=第3次无论抽到正品还是次品都停止检查，则P（=3）=1P（=1）P（=2）=故的分布列为E=故答案为点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式和概率的性质、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键14（4分）（2013黄浦区二模）已知，若存在区间，使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，
13、则实数m的取值范围是（0，4考点：函数的定义域及其求法；函数的值域专题：函数的性质及应用分析：首先分析出函数在区间a，b上为增函数，然后由题意得到，说明方程有两个大于实数根，分离参数m，然后利用二次函数求m的取值范围解答：解：因为函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，因为区间，由y|y=f（x），xa，b=ma，mb，则，即说明方程有两个大于实数根由得：零，则t（0，3）则m=t2+4t=（t2）2+4由t（0，3），所以m（0，4所以使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb的实数m的取值范围是（0，4故答案为（0，4点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了单调函数定义域及值域的关系，
14、训练了二次函数值域的求法，考查了数学转化思想，是中档题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（2013黄浦区二模）已知，且sin0，则tan的值为（）ABCD考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：利用二倍角公式求得cos ，再根据同角三角函数的基本关系求得sin，从而求得tan的值解答：解：已知，且sin0，cos =21=21=，故sin=，tan=，故选C点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题16（5分
15、）（2013黄浦区二模）函数的反函数是（）ABCD考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域解答：解：由y=得，所以原函数的反函数为故选D点评：本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题17（5分）（2013黄浦区二模）下列命题：“”是“存在nN*，使得成立”的充分条件；“a0”是“存在nN*，使得成立”的必要条件；“”是“不等式对一切nN*恒成立”的充要条件其中所以真命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：选项“”应是“存在nN*
16、，使得成立”的充要条件；选项当存在nN*，使得成立时，a只需大于当nN*，时的最小取值即可，可得a0；选项由充要条件的证明方法可得解答：解：选项当时，必存在nN*，使得成立，故前者是后者的充分条件，但存在nN*，使得成立时，a即为当nN*，时的取值范围，即，故“”应是“存在nN*，使得成立”的充要条件，故错误；选项当存在nN*，使得成立时，a只需大于当nN*，时的最小取值即可，故可得a0，故“a0”是“存在nN*，使得成立”的必要条件，故正确；选项由知，当nN*时的取值范围为，故当时，必有“不等式对一切nN*恒成立”，而要使不等式对一切nN*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等
17、式对一切nN*恒成立”的充要条件故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题18（5分）（2013黄浦区二模）如果函数y=|x|2的图象与曲线C：x2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A1，1）B1，0C（，10，1）D1，0（1，+）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：利用绝对值的几何意义，由y=|x|2可得，x0时，y=x2；x0时，y=x2，确定函数y=|x|2的图象与方程x2+y2=4的曲线必相交于（2，0），为了使函数y=|x|2的图象与方程x2+y2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点y=x
18、2代入方程x2+y2=4，整理可得（1+）x24x+44=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x0时的情形解答：解：由y=|x|2可得，x0时，y=x2；x0时，y=x2，函数y=|x|2的图象与方程x2+y2=4的曲线必相交于（2，0），如图所以为了使函数y=|x|2的图象与方程x2+y2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，则将y=x2代入方程x2+y2=4，整理可得（1+）x24x+44=0，当=1时，x=2满足题意，由于0，2是方程的根，0，即11时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数的取值范围是1，1）故选A点评：本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数
19、学思想，属于中档题三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（12分）（2013黄浦区二模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）题目给出的是正四棱柱，给出了底面边长和一条侧面对角线的长，所以先求出正四棱柱的侧棱长，也就是四棱柱的高，直接利用侧面积公式及体积公式求解该四棱柱的侧面积与体积；（2）在平面ADD1A1内过E作EFAD，由面
20、面垂直的性质可得EF底面ABCD，连接BF后，则EBF为要求的线面角，然后通过求解直角三角形求出EBF的正切值，利用反三角函数可表示出要求的角解答：解：（1）根据题意可得：在 RtAA1D中，所以正四棱柱的侧面积S=（23）4=24体积V=223=12；（2）如图，过E作EFAD，垂足为F，连结BF，则EF平面ABCD，BE平面ABCD，EFBF在 RtBEF中，EBF就是BE与平面ABCD所成的角EFAD，AA1AD，EFAA1，又E是A1D的中点，EF是AA1D的中位线，在 RtAFB中，点评：本题考查了柱体的侧面积与体积，考查了线面角，解答此题的关键是利用面面垂直的性质定理找到线面角，此
21、题属中档题20（14分）（2013黄浦区二模）已知复数z1=sinx+i，（，xR，i为虚数单位）（1）若2z1=z2i，且x（0，），求x与的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出解答：解：（1）由2z1=z2i，可得，又，xR，又x（0，）
22、，故或（2），由，可得，又=f（x），故=，故f（x）的最小正周期T=，又由Z），可得，故f（x）的单调递减区间为（kZ）点评：熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键.21（14分）（2013黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，
23、那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间解答：解：（1）由曲线过点，可得，故a=8（2分）当0x1时，（3分）当x1时，设2x1=t，可知t1，（当且仅当t=1时，y=4）（5分）综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小
24、时 （6分）（2）当0x1时，由，可得x28x+1=0，解得，又，故 （8分）当x1时，设2x1=t，则t1，由，可得，解得，又t1，故，所以，可得 （12分）由图象知当y1时，对应的x的取值范围是，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间 （14分）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题22（16分）（2013黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=4（1）求抛物线C的方程；（2）若（O为坐标原点），且
25、点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根据根与系数的关系即可得出；（2）根据向量和（1）的结论可用k表示E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线l的斜率和倾斜角；（3）利用向量计算公式和（1）中的根与系数的关系即可得出解答：解：（1）根据题意可知：，设直线l的方程为：，则：联立方程：，消去x可得：y22pkyp2=0（*
26、），根据韦达定理可得：，p=2，抛物线C的方程：y2=4x（2）设E（x0，y0），则：，由（*）式可得：y1+y2=2pk=4ky0=8k，又，64k2=4（8k2+4），2k2=1，直线l的斜率，倾斜角为或（3）可以验证该定值为2k0，证明如下：设M（1，yM），则：，=k1+k2=2k0为定值点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程、根据根与系数的关系、斜率的计算公式是解题的关键23（18分）（2013黄浦区二模）已知数列an具有性质：a1为整数；对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，（1）若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数
27、列，求a1的值；（2）设（m3且mN），数列an的前n项和为Sn，求证：；（3）若a1为正整数，求证：当n1+log2a1（nN）时，都有an=0考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）先设a1=2k，a2=k，得到a3=0，再分两种情况：k是奇数，若k是偶数，即可求出a1的值；（2）根据题意知，当m3时，再利用等比数列的求和公式即可证得结果；（3）由于n1+log2a1，从而n1log2a1，得出2n1a1由定义可得，利用累乘的形式有，从而，再根据anN，得出当n1+log2a1（nN）时，都有an=0解答：解：（1）设a1=2k，a2=k，则：2k+a3=2k，a3=0分两种情况：k是奇数，则，k=1，a1=2，a2=1，a3=0若k是偶数，则，k=0，a1=0，a2=0，a3=0（2）当m3时，（3）n1+log2a1，n1log2a1，2n1a1由定义可知：anN，an=0，综上可知：当n1+log2a1（nN）时，都有an=0点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了等比数列的通项公式、等比数列前n项求和公式，解题时要认真审题，仔细观察规律，避免错误，属于中档题
