1、72复数的四则运算72.1复数的加、减运算及其几何意义新课程标准解读核心素养1.通过实例，结合实数的加减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则数学抽象2.结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义数学运算我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律问题那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？知识点复数的加法、减法1复数的加、减法运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i2复数加法的运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)3复数加、减法的几何
2、意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是1把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数()(2)两个复数的加法不满足结合律()(3)复数加、减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义()答案：(1)(2)(3)2已知复数z134i，z234i，则z1z2等于()A8i
3、B6C68i D68i解析：选Bz1z234i34i6.3已知复数z3i333i，则z()A0 B6i C6 D66i解析：选Dz3i333i，z(33i)(3i3)66i.4在复平面内，向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是()A108i B108iC0 D108i解析：选C(5，4)(5，4)(0，0)，故对应的复数为0.复数的加、减运算例1(1)(链接教科书第76页例1)计算：(82i)(75i)(37i)；(2)设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.解(1)(82i)(75i)(37i)8(7)3(257)i153.(2)z1x2i
4、，z23yi，z1z256i，(3x)(2y)i56i，z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i.复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算 跟踪训练1计算(2i)_解析：(2i)i1i.答案：1i2若(13i)z62i，则复数z_解析：z(62i)(13i)62i13i55i.答案：55i复数加、减运算的几何意义例2(链接教科书第77页练习2题)如图所
5、示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i.求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度解(1)因为0(32i)32i，所以所表示的复数为32i.因为，所以所表示的复数为32i.(2)因为，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以所表示的复数为(32i)(24i)16i，故|.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量对应的复
6、数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数) 跟踪训练已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC与BD相交于点O.求：(1)对应的复数；(2)对应的复数；(3)AOB的面积解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以，于是，而(14i)(32i)22i，即对应的复数是22i.(2)因为，而(32i)(22i)5，即对应的复数是5.(3)因为，即，于是，而|，|，所以cosAOB，因此cosAOB，故sinAOB，故SAOB|sinAOB，即AOB面积为.复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.C2 D.(
7、2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值(1)解析设复数z，i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1.所以|zi1|min1.答案A(2)解如图所示，| 2.所以|z|max213，|z|min211.母题探究1(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解：因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16.2(变条件，
8、变设问)若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解：因为|z|1且zC，作图如图所示，所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121.两个复数差的模的几何意义(1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解 跟踪训练设复数zabi(a，bR)，1|z|2，求|z1
9、|的取值范围解：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1|z|2表示如图所示的圆环，而|z1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z11的对应点B(1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin0；当点A与点C(2，0)重合时，dmax3，0|z1|3.|z1|的取值范围是0，31若(3abi)(2bai)35i，a，bR，则ab()A BC D5解析：选B(3abi)(2bai)(3a2b)(ba)i35i，所以解得a，b，故有ab.2若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2 B4C3 D4解析：选Bz1(34i)24i，所以z的虚部是4.3在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3i，13i，则对应的复数是()A24iB24iC42i D42i解析：选D在平行四边形ABCD中，3i(13i)42i.故选D.4若复数z满足|zi|3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为_解析：由条件知|zi|3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S9.答案：95已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_解析：z1z2(a2a2)(a2a6)i(aR)为纯虚数，解得a1.答案：1
