1、14.2用空间向量研究距离、夹角问题第一课时用空间向量研究距离问题新课程标准解读核心素养1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题数学抽象、直观想象2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用直观想象、数学运算“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的问题(1)到目前为止，你学习过哪些“距离”？(2)以上这些“距离”的定义有什么共同点？(3)在空间中任意两个图形之间的距离怎样定义的？应怎样计算空间距离问题？知识点一点P到直线l的距离如图
2、，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点设a，则向量在直线l上的投影向量(au)u.在RtAPQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ已知直线l过定点A(2，3，1)，且n(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为()A.B.C. D.解析：选A(2，0，1)，|，则点P到直线l的距离d.知识点二点P到平面的距离如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影的长度因此PQ已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内
3、，则P(2，1，4)到的距离为()A10B3C.D.解析：选D(1，2，4)，P(2，1，4)到的距离为.点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，求点B到直线AC的距离解AB1，BC2，AA3，A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，(1，2，3)取a(0，2，0)，u，则a24，au，点B到直线AC的距离为.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的单位方向向量u；(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；(4)利用公式PQ计算点到直线的距离 跟踪训练已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，
4、E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DA2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则(1，2，1)，(1，0，2)取a(1，0，2)，u(1，2，1)，则a25，au，所以点A到EF的距离为.点到平面的距离与直线到平面的距离例2在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示求点B到平面CMN的距离解取AC的中点O，连接OS，OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC
5、，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC.又BO平面ABC，SOBO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1，0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的法向量，则 取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d.求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；(2)在三棱锥中用等体积法求解；(3)向量法：d(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)注意线面距、面面距实质上是求点面距，
6、求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行 跟踪训练1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离解：(1)证明：连接AB1交A1B于点E，则E是AB1的中点，连接DE.因为D是AC的中点，所以DEB1C，又DE平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.(2)因为B1C平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(1，0，3)，(0，2，3)，(0，2，0)，
7、(1，0，3)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，所以取z1，则x3，y0，所以n(3，0，1)所以点B1到平面A1BD的距离为，即直线B1C到平面A1BD的距离为.2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得y1，x1，n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距
8、离d.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.两异面直线间的距离例3(链接教科书第44页习题14题)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA3AB3a，求异面直线AB与PC的距离解以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，3a)则(a，0，0)，(a，a，3a)设，的公垂线的方向向量为n(x，y，z)，由取z1，则y3，有n(0，3，1)又(0，0，3a)，AB与PC间的距离da.异面直线距离问题的求解方法(1)
9、射影法：分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的法向量为n，则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d求解；(2)转化法：如图，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条直线a平行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线a到平面的距离，最后可转化为在直线a上取一点到平面的距离，从而可借用向量的射影法求解；(3)最值法：在两条异面直线a，b上分别任取两点A，B，建立的模的目标函数，函数的最小值即为所求 跟踪训练如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAABa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21，求异面直线
10、PB与CE的距离解：由PEED21，知在BD上取点F使BFFD21，易知PBEF，从而PB平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，即可求点P到平面CEF的距离以A为坐标原点，AD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，P(0，0，a)，C，F，E，则，.设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则于是令x0，y2，z1，则n(0，2，1)PB与平面CEF间的距离da，从而异面直线PB与CE的距离为a.1两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n(1，0，1)，则两平面间的距离是()A.B.C. D3解析：选B两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2
11、，1，1)，(2，1，1)，且两平面的一个法向量n(1，0，1)，两平面间的距离d.故选B.2若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是()A. B.C. D.解析：选D以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)可以求得平面ABC的一个法向量为n(1，1，1)，则d.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B.C. D.解析：选B建立坐标系如图，则A(1，0，0)，B(1，
12、1，0)，D1(0，0，1)，O.(0，1，0)，(1，0，1)设n(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，则解得y0，z1，n(1，0，1)又，点O到平面ABC1D1的距离为.4已知RtABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是_解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以(4，3，0)，所以点P到AB的距离d3.答案：35棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0)，(1，1，0)，(1，0，1)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则yz1，n(1，1，1)点M到平面ACD1的距离d.又，故MN平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离为.答案：
