1、广东省华美实验学校2020届高三数学下学期4月网上考试试题 文（含解析）第卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数的值域可知：，求解一元二次不等式可知：，结合交集的定义有：，表示为区间形式即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转能力和计算求解能力.2.设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三
2、象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.3.已知向量,则的充要条件是 （）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为向量,则，故其充要条件是选D4.设是等差数列的前n项和，则（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】，.本题选择C选项.5.如图所示，在平行六面体中，设，是的中点，试用，表示（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据空间向量的线性表示，用，表示出即可【详解】解：是的中点，.故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与
3、应用问题，是基础题目6.在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当时，有最大值为，即，故.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的
4、离心率故选A点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)8.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支
5、的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.9.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：）A. 3.1
6、419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.10.用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为，那么的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得考点：函数零点存在性定理的应用11.已知函数，下列结论中错误的是（ ）A. 的图像关于点中心对称B
7、. 的图像关于直线对称C. 的最大值为D. 既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而，故正确；对于选项，故是奇函数，有，故周期是，故正确；对于选项，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.12.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）.A. -1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.【
8、详解】因为，所以当 时，当时，所以在上递减，在上递增，所以，所以，又因为，所以，因为对应的，且有零点，（1）当时，或，所以，所以，所以，（2）当时，或，此时，所以，综上可知：，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.第卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_【答案】【解析】【分析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦
9、点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，所以椭圆的顶点为，焦点为，因为，所以椭圆的方程为，故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键14.已知数列满足， ，则_【答案】【解析】 即答案为.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的前n项和公式的求法，解题时要注意累加法的合理运用15.图是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入（单位：元）在，的人数依
10、次为，.图是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则输出的_.（用数字作答）【答案】6000【解析】【分析】由频率分布直方图可得样本的容量，再由程序框图的功能求解即可.【详解】解：因为月收入在的频率为，且有4000人，则样本的容量，由图知输出的，故答案为：6000.【点睛】本题考查了频率分布直方图，重点考查了程序框图，属中档题.16.正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.【详解
11、】连接，如下图所示：设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，由向量线性运算可知正方体的棱长为2，则球的半径为1，所以，而所以，即故答案为：.【点睛】本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（）若为线段的中点，求证平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】【详解】（）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面（）因为点在圆上，所以当时，
12、到的距离最大，且最大值为又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（）在中，所以同理，所以三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积18.在中，内角，所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；（）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.试题
13、解析：（）因为，所以由，即，由正弦定理得，即，即，.（），即， .19.某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：7301464.24364（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.（2）残差绝对值大于2数据被认为是异常数据，需要剔除：(i)剔除的异常数据是哪一组？(ii)剔除异常数据
14、后，求出（1）中所选模型的回归方程；(iii)广告投入量时，(ii)中所得模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）模型，理由见解析；(2)(i)是3月份的数据； (ii)； (iii)62.04万元.【解析】【分析】（1）根据残差图中体现出的残差点分布，结合其均匀程度以及带状区域的宽窄，即可分析比较；（2）(i)根据题意，结合残差图，即可求得月份的数据异常，应该剔除；(ii)根据已知数据和月份的数据，结合和的计算公式，即可求得结果；(iii)令，代入(ii)中所求回归直线方程，即可求得结果.【详解】（1）应该选择模型，因为模型的残
15、差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高.（2）(i)剔除异常数据是3月份的数据，即；(ii)剔除异常数据，即3月份的数据后，得，.，.所以关于的回归方程为.(iii)把代入(i)中所求回归方程得，故预报值为62.04万元.【点睛】本题考查残差分析、回归直线方程的求解，以及利用回归方程进行数据预测，属综合中档题.20.已知点是椭圆的右焦点，点，分别是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原点）（）求点的轨迹的方程；（）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分别交于点，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明
16、理由【答案】（1）（2）经过【解析】【分析】（）由椭圆的方程，得到右焦点的坐标，根据向量的数量积的运算公式，求得和，代入即可求解抛物线的标准方程；（）解法一：设直线的方程为，得到，联立方程组，求得，利用向量的数量积的运算，即可得到证明；解法二：当时，利用向量的数量积得到；当不垂直轴时，设直线的方程为，联立方程组，求解，进而证得，即可得到证明.【详解】（）椭圆右焦点的坐标为，.，由，得.设点的坐标为，由，有，代入，得.即点的轨迹的方程为.（）解法一：设直线的方程为，则：，：.由得，同理得.，则.由得，.则.因此，以线段为直径的圆经过点.解法二：当时，则：，：.由，得点的坐标为，则，由，得点的坐标
17、为，则.当不垂直轴时，设直线的方程为，同解法一，得.由，得，.则.因此，以线段为直径的圆经过点.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和抛物线的标准方程、以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，合理应用韦达定理求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数. 求的最小值.若.求证：存在唯一的极大值点，且【答案】；证明见解析.【解析】【分析】求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性进而可得结论；通过
18、可知，记，利用函数存在唯一的极大值点，得出，另一方面可知.【详解】解： ，.当时，即函数上单调递减；当时，即函数在上单调递增.由知， 设，则 当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，. 因为，所以是的唯一极大值点 .由得，故 .由得 ，由，可知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.综上所述，存在唯一的极大值点，且.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，转化思想，属于难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线：(为参数，实数)，曲
19、线：(为参数，实数).在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线（，）与交于，两点，与交于，两点，当时，；当时，.(1)求，的值；(2)求的最大值.【答案】(1)，；(2)【解析】【分析】(1)将曲线和的参数方程化为普通方程后，再化为极坐标方程，根据时，；当时，即可分别求出的值；(2)根据(1)可知曲线和的极坐标方程分别为，代入化简，再根据三角函数的最值的求法即可求出结果【详解】(1)由曲线：（为参数，实数），化为普通方程为，展开可得，所以其极坐标方程为，即，由题意可得当时，所以.曲线：(为参数，实数)，化为普通方程为，展开可得,所以其极坐标方程为，即，由题意可得当时，所以.(2)由(1)
20、可得，的极坐标方程分别为，.所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值.【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程及三角函数最值的求法，同时考查极坐标方程的应用，属于中档题选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 【详解】（1）当时，恒成立，当时，解得，当时，不成立，无解，综上，原不等式的解集为（2）由（1），当且仅当，即时等号成立，的最小值是【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值
