1、第十一节导数在函数研究中的应用第一课时函数的导数与单调性函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)若f(x)0不恒成立，则f(x)0(或f(x)0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件1(基础知识：混淆f(x)的图象)函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()
2、A函数f(x)在区间(3，0)上是减函数B函数f(x)在区间(3，2)上是减函数C函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D函数f(x)在区间(3，2)上是单调函数答案：A2(基本方法：忽视定义域)函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0，1) B(0，)C(1，) D(，0)(1，)答案：A3(基本方法：求单调区间)函数f(x)cos xx sin x，x(0，)的递增区间为_答案：4(基本应用：导数的作用)函数f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围为_答案：0，)5(基本能力：求参数范围)函数f(x)x2(xa)在(2，3)上不单调，则a的取值范围为_答案：题型一用导数讨论函
3、数的单调性，求单调区间 典例剖析类型 1用导数判断简单函数的单调性例1(1)(2021河北邯郸模拟)已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A和(1，) B(0，1)和(2，)C和(2，) D(1，2)解析：函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，).答案：C(2)函数f(x)x2的单调递增区间是_，单调递减区间是_解析：令1x0，x1.f(x)12(1x)(1)1，令f(x)0得10，x0.令f(x)0得10，0x1，函数的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，1.答案：(
4、，0)(0，1类型 2讨论含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)ax2(a1)xln x，a0，试讨论函数yf(x)的单调性解析：x0，f(x)ax(a1)，令f(x)0，x1或x，当0a1时，1，当x(0，1)和时，f(x)0；当x时，f(x)0，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，1，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，01，当x和(1，)时，f(x)0；当x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，函数f(x)在(0，)上
5、单调递增；当a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减方法总结1根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f(x).(3)讨论导函数的符号，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递减区间2对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨
6、论，还要确定导数为零的点和函数的间断点题组突破1设函数f(x)x(ex1)x2，则f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_解析：f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1).当x(，1)时，f(x)0.当x1，0时，f(x)0.当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减答案：(，1)，(0，)1，02(母题变式)若将本例2中参数a的范围改为：aR，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性解析：a0时，讨论同上；当a0时，ax10，x(0，1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，
7、)上单调递减综上，当a0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减题型二导数在函数单调性中的应用 典例剖析类型 1构造导函数，研究不等关系例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)f(x)0，则()Aef(2 018)f(2 019)Bef(2 019)f(2 020)Ce2f(2 018)f(2 020)De2f(2 019)与f(2 021)的大小不能
8、确定解析：令g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)0，所以g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 018)g(2 019)，即，所以ef(2 018)f(2 019)，故选项A正确，选项B错误同理g(2 018)g(2 020)，e2f(2 018)f(2 020)，选项CD错误答案：A(2)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)f(x)x2，且x0时，f(x)x恒成立，则不等式f(x)f(1x)x的解集为()A BC D(，0)解析：令g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0g(x)为奇函数，又x0时，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上递减，则g(x)在(，)上
9、递减，由f(x)f(1x)x知f(x)x2f(1x)(1x)2，即g(x)g(1x)，从而x1xx，所以所求不等式的解集为.答案：A类型 2已知函数单调性求参数例2已知函数f(x)ln xax22x(a0)在1，4上单调递减，求a的取值范围解析：因为f(x)在1，4上单调递减，所以当x1，4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立设G(x)，x1，4，所以aG(x)max，而G(x)1.因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，).方法总结 1含有“f(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数2常见的构造
10、函数思路：(1)已知“f(x)g(x)f(x)g(x)”型：联想构造函数F(x)f(x)g(x).(2)已知“f(x)g(x)f(x)g(x)”型：联想构造函数F(x).(3)已知“f(x)f(x)”型：联想构造函数F(x)exf(x).(4)已知“f(x)ln x”型：联想构造函数F(x)f(x)ln x3由函数的单调性求参数的取值范围的方法：(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上
11、存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间上的单调性，区间上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围题组突破1已知函数f(x)x sin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)解析：因为f(x)x sin x，所以f(x)(x)sin (x)x sin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xx cos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f，即ff(1)f.答案：A2(母题变式)在例2中，若f(x)在1，
12、4上存在单调递减区间，求a的取值范围解析：因为f(x)在1，4上存在单调递减区间，则f(x)0在1，4上有解，所以当x1，4时， a有解，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1，0)(0，). (2019高考全国卷节选)已知函数f(x)2x3ax2b.讨论f(x)的单调性解析：f(x)6x22ax2x(3xa).令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时， f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，则f(x)在(，)单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减已知函数f(x)
13、x2ln (x1)(e为自然对数的底数，a为常数，且a0).(1)若函数图象在x1处的切线与直线exy0平行，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上存在单调递减区间，求a的取值范围解析：(1)依题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，对f(x)求导，得f(x)eax1，x(1，).所以f(1)ea，所以eae，所以a1.(2)由题意知，当x(0，)时，f(x)eax10有解当x1，)时，f(x)eax10恒成立，f(x)不存在单调递减区间；当x(0，1)时，f(x)eax10有解等价于ln ax0有解设(x)ln ax，x(0，1)，则(x)a，x(0，1).因为x(0，1)，所以2.当a2时，(x)a0恒成立，(x)ln ax在(0，1)上单调递减，(x)0恒成立，不符合题意当a2时，01，当x时，(x)a0，(x)ln ax在上单调递增，(x)0有解，即ln ax0有解综上所述，a的取值范围为(，2).
