1、三角函数一、选择填空题1.（江苏2004年5分）函数y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为【 】(A) (B) (C) (D)【答案】B。【考点】三角函数的周期性及其求法。【分析】把函数y=2cos2x+1（xR）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可：函数y=2cos2x+1=cos2x+2，它的最小正周期为：。故选B。2（江苏2005年5分）中，BC=3，则的周长为【 】A BC D【答案】D。【考点】正弦定理。【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案：根据正弦定理 ，。ABC的周长为=。故选D。3.（江苏2005年5分）若，则=【 】A B C D【
2、答案】A。【考点】运用诱导公式化简求值，二倍角的余弦。【分析】由可得，即。 由二倍角的余弦公式，得。故选A。4.（江苏2006年5分）已知，函数为奇函数，则a【 】 （A）0（B）1（C）1（D）1【答案】A。【考点】函数的奇偶性，三角函数的奇偶性的判断。【分析】,且函数为奇函数， ，即。a0。故选A。5.（江苏2006年5分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点【 】（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
3、不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）【答案】C。【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换。【分析】先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像。故选C。7.（江苏2006年5分）在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC【答案】。【考点】正弦定理。【分析】解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得，解得。8.（江苏2006年5分）【答案】2。【考点】弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数。【分析】在求三角
4、的问题中，要注意这样的口决“三看”即（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用。9.（江苏2007年5分）下列函数中，周期为的是【 】A B C D【答案】D。【考点】三角函数的周期性及其求法。【分析】根据公式对选项进行逐一分析即可得到答案：的周期为：T=4，排除A；的周期为：T=，排除B；的周期为：T=8，排除C；的周期为：T=。故选D。10.（江苏2007年5分）函数的
5、单调递增区间是【 】A B C D【答案】D。【考点】正弦函数的单调性，两角差的正弦公式。【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得答案：，。根据正弦函数的单调性，即时，函数单调递增。故选D。11.（江苏2007年5分）若，.则.【答案】。【考点】两角和与差的余弦函数，弦切互化。【分析】先由两角和与差的公式展开，得到，的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积：，。二式联立，得，。12.（江苏2007年5分）某时钟的秒针端点到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标的点B重合，将A，B两点
6、的距离表示成的函数，则，其中。【答案】。【考点】在实际问题中建立三角函数模型。【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果： AOB=，根据直角三角形的边长求法得到。13.（江苏2008年5分）若函数最小正周期为，则.【答案】。【考点】三角函数的周期公式。【分析】由三角函数的周期公式，得。14.（江苏2008年5分）满足条件的三角形ABC的面积的最大值【答案】。【考点】三角形的计算。【分析】设BC，则AC ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=。由三
7、角形三边关系有，解得。当时取最大值。15.（江苏2009年5分）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= .【答案】3。【考点】三角函数的周期。【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出：由图中可以看出：，。16.（江苏2010年5分）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为。【答案】。【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。【分析】先将求P1P2的长转化为求的值，再由满足=可求出的值，从而得到答案：由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P1P2的长即为的值，且其中的满足=，解得=。线段P1P2的长为
8、。17.（江苏2010年5分）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。【答案】4。【考点】正、余弦定理，同角三角函数基本关系的运用。【分析】， 。18.（江苏2011年5分）已知 则的值为【答案】。【考点】三角函数的和差倍计算。【分析】，。19.（江苏2011年5分）函数是常数，的部分图象如图所示，则【答案】。【考点】三角函数的图象和性质的应用。【分析】由函数图象得，,再结合三角函数图象和性质知，。20. （2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。
9、联立，解得，。11（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。7（2013江苏卷1）函数的最小正周期为 。答案：18（2013江苏卷11） 设为锐角，若，则的值为 【解析】根据，因为，所以 ，因为.【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.二、解答题1.（江苏2004年12分）已知0，tan+cot=，求sin()的值.【答案】解：由已知。【考点】弦切互化，两角差的正弦函数
10、。【分析】根据求得的值，从而根据的范围求得的值，最后根据两角和公式求得答案。3.（江苏2008年14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点已知A，B两点的横坐标分别是，BAxyO（1）求的值； （2）求的值【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，为锐角故，。同理可得 。=。（2）,由 ，得 。【考点】两角和与差的正切函数。【分析】（1）先由已知条件得 ；再求、，从而求出、；最后利用=解之。BCDAOP（2）利用（1）把转化为求之，再根据的范围确定角的值。4.（江苏2008年14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，
11、B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：（）设（rad），将表示成的函数；（）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【答案】解：（1）（）延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 。又OP，。所求函数关系式为。（）若OP=(km) ，则OQ10，OA =OB=。所求函数关系式为。（2）
12、选择函数模型（），令0 得sin 。，=。当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。【考点】在实际问题中建立三角函数模型。【分析】（1）（）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围。（）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式。（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合。5.（江苏2009
13、年14分）科网设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.网【答案】解：（1）与垂直， 即， 即。 。 （2）当时，取最大值，且最大值为。（3），即，即与共线。【考点】向量的基本概念，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，可求出的正余弦之间的关系，最后可求正切值。（2）根据向量的求模运算得到的关系，然后根据正弦函数的性质可确定答案。（3）将化成弦的关系整理即可得到，正是的充要条件，从而得证。6.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰
14、角ABE=，ADE=。(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【答案】解：（1）由得，同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，。，（当且仅当时，取等号），当时，最大。，则，当时，最大。故所求的是m。【考点】解三角形的实际应用，两角差的正切及不等式的应用。【分析】（1）在RtABE中可得，在RtADE中可得，在RtBCD中
15、可得 ，再根据ADAB=DB即可得到H。（2）先用分别表示出和，再根据两角和公式，求得，再根据均值不等式可知当 时，有最大值即有最大值，得到答案。7.（江苏2010年附加10分）已知ABC的三边长都是有理数。（1） 求证是有理数；（2）求证：对任意正整数，cosA是有理数。【答案】证明：（1）设三边长分别为，是有理数，是有理数， 为正有理数。又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数，当时，且cosA是有理数， 也是有理数。假设当时，结论成立，即cosA、均是有理数。当时，。cosA，均是有理数，是有理数。是有理数。即当时，结论成立。综上所述
16、，对于任意正整数，cosA也是有理数。【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。【分析】（1）设出三边为，根据三者为有理数可推断出是有理数，是有理数，从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理数。（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数。再假设时，结论成立，从而可知，均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得，根据cosA，均是有理数推断出是有理数是有理数，即是有理数。从而时成立最后综合原式得证。8.（江苏2011年14分）在ABC中，角A、B、C所对应
17、的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.【答案】解：（1）由题意知，从而，。，。（2）由，及，得，是直角三角形，且。【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可。（2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。9.（2012年江苏省14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1
18、）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。7、（2013江苏卷18）.18本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，。（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行
19、的速度应控制在什么范围内？CBA18解：（1）， 根据得（2）设乙出发t分钟后，甲乙距离为d，则即时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。（3）由正弦定理得（m）乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C设乙的步行速度为V ,则为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内法二：解：（1）如图作BDCA于点D，设BD20k，则DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示则：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000，其中0x8，当x(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短（3）由（1）知：BC500m，甲到C用时：(min)若甲等乙3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min) 此时乙的速度最小，且为：500m/min若乙等甲3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min) 此时乙的速度最大，且为：500m/min故乙步行的速度应控制在，范围内CBADMN版权所有：高考资源网()
