1、第八节 幂函数 基础梳理1.幂函数概念：形如_的函数称为幂函数，其中x是_，a为_2.幂函数的图象(以y=x，y=x2，y=x3，y=，y=为例)1x12x常数 y=xa(aR)自变量3.幂函数的图象和性质(1)所有的幂函数在_都有定义，并且图象都过点_(2)a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，+)上是_(3)a0时，幂函数的图象在区间(0，+)上是_在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近_，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近_(4)当a为奇数时，幂函数为_，当a为正偶数时，幂函数为_偶函数(0，+)(1,1)增函数减函数y轴x轴奇函数4.5个具体幂函数的性
2、质 性质 特征y=xy=x2y=x3y=x-1定义域奇偶性在第一象限单调增减性在第一象限单调递_在第一象限单调递_在第一象限单调递_在第一象限单调递_在第一象限单调递_定点12yx(1,1)RRRx|x0 x|x0奇奇偶非奇非偶奇增增增增减(0,0)，(1,1)1.(教材改编题)在函数y=，y=2x2，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3基础达标21xB 解析：依据幂函数的定义，y=2x2的系数不是1，y=x2+x是两个函数的和的形式，y=1也不同于y=x0(x0)，因此这三个都不是幂函数，只有符合.21yx2.设a，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的
3、所有a值为()A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,311,1,32A 解析：由幂函数的定义和性质得x=1和3时，定义域为R且为奇函数3.下列命题：幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；幂函数y=xn，当n0时是增函数；幂函数y=xn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小其中正确的是()A.B.C.D.D 解析：当y=x-1时，不过(0,0)点，错；当n=0时，y=x0是去掉(0,1)的一条直线，错；y=x2在(-，0)上是减函数，错，正确，故选D.4.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(
4、x)是_函数(填“奇”或“偶”)3,3 33解析：设f(x)=xa，则故a=3.因此f(x)=x-3，故f(x)是奇函数33 33a 奇5.若函数则(f(f(0)=_.121,02()2,03,0 xxf xxxx 解析：f(f(f(0)=f(f(2)=f(1)=1.1经典例题题型一 幂函数的定义【例1】已知f(x)=(m2+2m)xm2+m-1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？.解：(1)若f(x)为正比例函数，则(2)若f(x)为反比例函数，则(3)若f(x)为二次函数，则(4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1，221 1120
5、mmmmm 2211113220mmmmm 2212120mmmmm 12m 如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点，则m的取值是()A.-1m2 B.m=1C.m=2 D.m=1或m=2变式1-1 D 解析：由幂函数的定义，m2-3m+3=1，所以m=1或m=2.又图象不过原点，所以m2-m-20，解得-1m2.综上，m=1或m=2.【例2】比较下列各组值的大小：(1)30.9,30.7；(2)2235554.1,3.8,(1.9).题型二 幂值的大小比较(3)0.20.5和0.40.3.解：(1)函数y=3x是增函数，30.930.7.(2)由于 因此 2235554
6、.11,3.81,(1.9)02235554.13.8(1.9)(3)由于指数函数y=0.2x在R上是减函数，所以0.20.50.20.3.又由于幂函数y=x0.3在(0，+)上是增函数，所以0.20.30.40.3，故有0.20.50.40.3.0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小顺序是_变式2-1 21.620.20.40.20.20.2解析：y=x0.2在(0，+)上是增函数，且20.40.2，20.20.40.20.20.2，又y=2x是增函数，且1.60.2，21.620.2，21.620.20.40.20.20.2.【例3】已知幂函数 (mZ)的图象与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式题型三 幂函数的图象和性质的应用2 23()mmf xx解析：由得m=-1或1或3.当m=-1或3时，解析式为f(x)=x0(x0)；当m=1时，解析式为f(x)=x-4.2223023mmmmmZ(2010安徽)设 ，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.abcC.cab D.bca链接高考232555322,555abc知识准备：1.知道同底数的幂值比较大小借助指数函数的 单调性；.知道同指数的幂值比较大小借助幂函数的 单调性 在x0时是增函数，所以ac；在x0时是减函数，所以cb.所以acb，故选A.25yxA 解析：2()5xy
