1、第十章 选修4系列 1.几何证明选讲 2.坐标系与参数方程 3.不等式选讲第59讲 相似三角形的判定与性质【学习目标】1.了解相似三角形的定义，会应用相似三角形的三个判定定理进行推理证明.2.了解平行线分线段成比例定理.3.会灵活应用直角三角形射影定理进行运算求解和推理论证.【基础检测】1.如图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，求 BC 的长.【解析】ABEMDCAEEDE 为 AD 的中点，M为 BC 的中点.又 EFBCEFMC12 cm，BC2MC24 cm.2.如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，点 E 在AB 上，且 AE14AB，连接 EM 并延长交 BC
2、的延长线于点 D，则 BCCD()A.21 B.31C.32 D.41【解析】如图所示，过点 C 作 CFAB 交 DE 于点F.CFAE1，又 AE14AB，CFBE13.CFAB，CDBDCFBE13.BCCD21.故选 A.A3.如图，在ABC 和DBE 中，ABDBBCBEACDE53，若ABC 与DBE 的周长之差为 10 cm，则ABC的周长为()A.20 cm B.254 cmC.503 cm D.25 cmD【解析】在ABC 和DBE 中，ABDBBCBEACDE53，ABCDBE，相似比等于53.设ABC 的周长为 x，则DBE 的周长为35x，又ABC 与DBE 的周长之差
3、为 10 cm，即 x35x10，解得 x25 cm，故选 D.4.如果直角三角形 ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，且 DC5，AD 5，则 AB 的值为()A.5B.55C.1 D.6 5D【解析】CD5，AD 5，CD2ADBD，BDCD2AD 2555 5.ABADBD 55 56 5.5.如图，ABCCDB90，ACa，BCb，要使ABCCDB，那么 BD 与 a，b 应满足()A.BDb2aB.BDba2C.BDa2bD.BD ab2A【解析】ABCCDB90，当ACBCBCBD时，ABCCDB，即当ab bBD时，ABCCDB，BDb2a.【知识要点】1相似三角形的定义对应
4、角_，对应边_的两个三角形叫做两个相似三角形；相似三角形对应边的比值叫做相似比2相似三角形的判定判定定理 1：两角对应_的两个三角形相似判定定理 2：两边对应_，并且夹角_的两个三角形相似判定定理 3：三边对应_的两个三角形相似相等成比例相等成比例相等成比例3相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线的比都等于_(2)相似三角形周长的比等于_(3)相似三角形面积的比等于_4平行线分线段成比例定理及推论三条平行线截两条直线，所得的_成比例相似比相似比相似比的平方对应线段推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的_成比例5射影定理直角三角形斜边上的高是
5、两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_对应线段比例中项比例中项一、平行线截割定理及应用例1在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交 AD 于点 E，求证：AEBF2DEAF.【证明】过点 D 作 DGFC 交AB 于点 G，BDDC，BGGF，EFGD，AFFGAEED，AFEDAEFGAE12BF AEBF2DEAF.【点评】在应用平行线截割定理时，既要注意比例关系有目标的转换，又要注意应用比例的有关性质.二、射影定理及应用例2如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E.试证明：(1
6、)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.【解析】证明：(1)在 RtABC 中，ADBC，SABC12ABAC12BCAD.ABACBCAD.(2)在 RtADB 中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理 CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在 RtBAC 中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC.又 ABACBCAD，即AD3BCCFBE.【点评】本例在综合应用射影定理和直角三角形的基本知识方面有一定的综合，试题求解有一定难度，要求有较好的观察能力和推理论证能力，对推理论证能力的培养有很好的效果，但应注意高考的命题难度为中档或中档偏易，相对本例(2)要容
7、易点.三、三角形相似的判定与性质及应用例3如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD的延长线上一点，DE12CD，BE 与 AD 交于点 F.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积.【解析】(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BAFBCD，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.(2)四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF.SDEFSCEBDECE2，SDEFSABFDEAB2.又 DE12CD12AB，CEDECDDE2DE3DE.SDEFSCEBDECE219，SDEFSABFDEAB21
8、4.SDEF2，SCEB18，SABF8.S四边形 ABCDSABFSCEBSDEF818224.备选题例4如图，在ABC 中，D，F 分 别 在 AC，BC 上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求 AC.【解析】设 ACx，在ABC 中，ABAC，AFBC，由射影定理，得 AC2CFBC，又 FC1，BCAC2x2，再由射影定理，得 AF2BFFC(BCFC)FC，即 AF2x21，AF x21，在BDC 中，过 D 作 DEBC 于 E.BDDC1，BEEC，故 EC12BCx22，又AFBC，DEAF，DEAFDCAC，再由射影定理，得 AF2BFFC(BCFC)FC，即 AF2x
9、21，AF x21，在BDC 中，过 D 作 DEBC 于 E.BDDC1，BEEC，故 EC12BCx22，又AFBC，DEAF，DEAFDCAC，DEDCAFAC x21x，在 RtDEC 中，DE2EC2DC2，即x21x2x2221，x21x2 x44 1.即 x64，x3 2，故 AC3 2.【点评】本小题主要考查利用直角三角形中射影定理求解问题，及运算求解和推理论证能力.1.相似三角形的证法：定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理 1，即两角相等、两三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法；两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角
10、边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似.2.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系可以进行各种证明、求值.3.在探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序、模式.(2015 江苏)如图，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证：ABDAEB.【证明】因为 ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE.又
11、BAE 为公共角，所以ABDAEB.【命题立意】本题主要考查相似三角形的判定.1.如图，在ABC 中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则 BF_.4【解析】由 DEBC，得DEBCAEAC35，因为 DE6，所以 BC10，又 DFAC，BFBCBDABCEAC25，BF4.2.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2.E，F 分别为 AD，BC 上点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 75【解析】如图，延长 AD，BC 交于一点 O，作 OHAB 于点 H.xxh1 23，得 x 2h1，xh1xh1h234，得 h1h2.S 梯形
12、ABFE12(34)h272h2，S 梯形 EFCD12(23)h152h1，S 梯形 ABFES 梯形 EFCD75.3.如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD的中点，AE 交 BC 于 F，则BFFC的值为_.12【解析】过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M.点 E 是 BD 的中点，在BDM 中，BFFM.又点 D 是 AC 的中点，在CAF 中，CMMF，BFFCBFFMMC12.4.如图，D 是ABC 中 BC 边上一点，点 E、F 分别是ABD，ACD 的重心，EF 与 AD 交于点 M，则AMDM_.2【解析】连接 AE，AF，并延长交 BC 于 G，H，点
13、 E、F 分别是ABD，ACD 的重心，AEEGAFFH2，EFGH，AMDM2.故答案为 2.5.如图，在ABC 中，CDAB 于 D，若 BC2BDAB，则ACB_.【解析】BC2BDAB，BCABBDBC，又B 公共，CDBACB，又 CDAB，CDB90，ACBCDB90.906.如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于D，AD4，sinACD45，则 CD_，BC .【解析】由 CDAB，可知ADC90，在 RtACD 中，sinACDADAC 4AC45，得AC5，则 CD AC2AD23.3154由射影定理 AC2ADAB，得 ABAC2AD 254，又 BC2BDAB
14、(ABAD)ABAB2ADAB 25424254 25916，从而 BC154.7.如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，BDBC，BECD 于 E，AC 交 BE 于 F，若 DC2BC4.则 EF_.【解析】在 RtDBC 中，BC2CECD，即 22CE4.得 CE1，又BDCACD30.则 EFECtan 30 33.338.如图，在正方形 ABCD 中，P 是BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD的中点，求证：ADQQCP.【证明】在正方形 ABCD 中，Q 是 CD 的中点，ADQC2.BPPC3，BCPC4.又BC2DQ，DQPC2.在ADQ 和QCP 中，ADQCDQC
15、P，且DC90，ADQQCP.9.如图，在ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 为 AD 上一点，CFAB，BP 的延长线交 AC、CF 于E、F 两点，求证：PB2PEPF.【解析】证明：连接 PC.易证 PCPB，ABPACP.CFAB，FABP.从而FACP.又EPC 为CPE 与FPC 的公共角，从而CPEFPC，CPFPPEPC.PC2PEPF.又 PCPB，PB2PEPF.10.如图，已知在ABC 中，点 D 是 BC 边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.(1)求证：ABCFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长.【解析】(1)证明：DEBC，D 是 BC 边上的中点，EBEC.BECD，又 ADAC，ADCACD，ABCFCD.(2)过点 A 作 AMBC，垂足为点 M，ABCFCD，BC2CD，SABCSFCDBCCD24.又SFCD5，SABC20.又 SABC12BCAM1210AM20，解得 AM4.又 DEAM，DEAMBDBM.DM12DC52，BMBDDM552152，DE4 5152，解得 DE83.
