1、高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第60讲 两直线的位置关系1掌握两条直线相交的判定及交点坐标的求法 2能判定两条直线平行或垂直 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1两条直线的平行与垂直 已知直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：(1)l1l2；(2)l1 与 l2 相交 ；(3)l1l2 .对于斜率不存在的情况，可以根据图形进行判断，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线 ；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则这两条直线 .k1k2且b1b2k1 k2k1 k2 1平行垂直2两直线的交点 两条直线 l1 和 l2
2、的交点坐标可以由两直线方程联立方程组l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20求得 3距离公式(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|；(2)点到直线的距离公式：设点 P(x0，y0)，直线 l：AxByC0，P 到 l 的距离为 d，则有 d ；(3)两条平行直线间的距离公式：设两条平行直线l1：AxByC10和l2：AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有d .4有关对称问题(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为 .(2)点(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线yx、直线yx的对称点分别为 、(y，x)(x，y)(x，y)(x，y)
3、(y，x)(2ax,2by)(3)点 P(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点 Q(x，y)满足方程组：Ax0 x2By0y2C0，Bxx0Ayy00.1已知点 A(1,3)和直线 l：x2y30.(1)过 A 且平行于 l 的直线方程为 ；(2)过 A且垂直于 l的直线方程为 .解：(1)因为 l 的斜率为 kl12，所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率 k12，由点斜式得 y312(x1)，即 x2y70.(2)所求直线的斜率 k2，由点斜式可得所求直线方程为 2xy10.答案：x2y70 2xy102若直线 ykx3 过直线 2xy10 与 yx5 的交点，则 k .解
4、：解方程组2xy10，yx5，得交点(4,9)，将 x4，y9 代入 ykx3，得 k32.答案：323已知 3x4y120，则 x2y2的最小值为 .解：x2y2 x02y02可以看成点(x，y)到点(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离，d|12|3242125.答案：1254两条平行直线 l1：2x3y10 与 l2：4x6y10之间的距离为 .解：由于 l1：2x3y10 与 l2：2x3y120 平行，所以 d|C1C2|A2B21122232 1326.答案：13265.(2018全国卷文)下列函数中，其图象与函数 ylnx 的图象关于直线 x1 对称的是()Ayln(1x)
5、Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解：(方法 1)设关于 x1 对称的函数图象上任一点为(x，y)，它关于 x1 的对称点为(2x，y)在 yln x 的图象上，所以 yln(2x)(方法 2)函数 yf(x)的图象与函数 yf(ax)的图象关于直线 xa2对称，令 a2，可得与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称的是函数 yln(2x)的图象 答案：B 两直线位置关系的判定距离公式的应用对称问题考点1两直线位置关系的判定【例 1】已知两直线 l1：xmy2m20，l2：mxy1m0.(1)若 l1l2，则 m_；(2)若 l1l2，则 m_.解：(1)当 m0 时，显然
6、不满足 l1l2，当 m0 时，k11m，k2m，所以1mm，解得 m1 或 m1.当 m1 时，l1：xy4，l2：xy20，l1l2；当 m1 时，l1：xy0，l2，xy0，l1与 l2重合 综上可知，m1.分析：l2 的斜率存在 k2m，但 l1 的斜率存在与否与m 是否为 0 有关，因此，要对 m 是否为 0 进行讨论(2)若 l1l2，当 m0 时，l1：x2，l2：y1，可知 l1l2；当 m0 时，k1k2(1m)(m)11，所以 l1 与 l2 不垂直 综上可知，m0.答案：(1)1(2)0【变式探究】1(2018福建泉州月考)设 a，bR，则“a1”是“直线 l1：ax2y
7、10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解：当a1时，直线l1：x2y10，l2：x2y40，显然平行，所以条件具有充分性 若l1l2，因为l1的斜率存在，则l2的斜率也存在，所以a1.由k1k2，得a2 1a1，所以a(a1)2，解得a1或a2.检验均符合题意，所以条件不具有必要性 所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件 答案:A点评：(1)判断两直线的位置关系，当直线方程中含有参数时，常常要分斜率是否存在进行讨论，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的
8、情况(2)在讨论两直线平行时，要注意验证两直线是否重合对于斜率不存在是否符合要求，一般可结合图形进行判断对含参数的问题还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 考点2距离公式的应用【例 2】(2018陕西榆林模拟)设两条直线的方程分别为 xya0，xyb0，已知 a，b 是关于 x 的方程x2xc0 的两个实根，且 0c18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（）A 12，24B 2，22 C 2，12D 22，12 解：因为a，b是关于x的方程x2xc0的两根，且0c18时，方程的判别式大于零，所以ab1，abc.又两条平行线之间的距离d|ab|1212|ab|2，所以d2
9、ab24ab2124c2(0c18)，所以14d212，所以12d 22.答案：D【变式探究】2(2018广东模拟)已知动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，且 Q(4,0)到直线 l 的最大距离为 3，则 12a2c的最小值为()A.92B.94C1D9解：因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以 abmc20，又 Q(4,0)到直线 l 的最大距离为 3，所以412m23，解得 m0，所以 ac2.所以 12a2c12(ac)(12a2c)12(52 c2a2ac)12(522c2a2ac)94.当且仅当 c2a43时取等号答案:B 点评
10、：(1)运用两平行线间的距离公式时，首先要看 x，y 的系数是否对应相等；运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般形式(2)与直线有关的问题，常常要和其他知识进行联系，求解时，要关于挖掘问题的特点，合理联想和转化 考点3对称问题【例3】已知直线l：x2y10，l1：xy20，求直线l1关于l对称的直线l2的方程 解：(方法 1)由x2y10，xy20，得x1，y1.即 A(1，1)在直线 l2 上 l1 上取一点(2,0)，设它关于 l 的对称点为 B(x0，y0)，则 y0 x02121，x0222y0210，解得x045，y0125，即 B(45，125)在直线 l2 上因为 kAB
11、125 14517，所以 l2 的方程为 y17(x1)，即 7xy80.(方法 2)设 P(x，y)为 l2 上任意一点，它关于 l 的对称点为 P(x，y)必在 l1 上，且 PP的中点 Ml，PPl，即xx22yy210，yyxx2，x153x4y2，y154x3y4，代入 l1 的方程可得 l2 的方程为 7xy80.【变式探究】3在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，P 是边 AB上异于 A，B 的一点光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P(如图)若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于()A2B1 C83D43 解：以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y
12、轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为xy40.设P(t,0)(0t4)，由对称知识可得P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线 由P1、P2两点可知P1P2所在直线的方程为y4t4t(xt)设ABC的重心为G，易知G(43，43)因为重心G在光线RQ上，所以有434t4t(43t)，即3t24t0，所以t0或t43.因为0t4，所以t43，即AP43.答案:D 点评：(1)在轴对称问题中，点关于直线的对称是最基本、最重要的对称，处
13、理这种对称问题要紧扣对称的定义，抓住如下两点：已知点与其对称点的连线与对称轴垂直；已知点与其对称点为端点的线段的中点在对称轴上(2)例 3 中两种解法是解这类问题的基本解法，其中解法一抓住了直线与直线对称的特点，解法二具有一般性1研究两直线的平行、垂直关系时，要注意斜率存在和斜率不存在这两种情况，对于斜率不存在的情况，可结合图形直接得解；在两条直线l1、l2斜率都存在，且均不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21.2运用公式d|C1C2|A2B2 求两平行直线之间的距离时，要注意把x，y的系数化成对应相等；而运用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化为一般式 3对称问题一般是将直线与直线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法(代入法)进行求解求解的关键是抓住对称的两个特征：垂直与平分 点击进入WORD链接
