1、高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第49讲 数学归纳法1了解数学归纳法的原理 2会用数学归纳法证明与正整数有关的命题 3会用观察、归纳、猜想、证明的思维方法解决有关问题 1数学归纳的基本思想 数学归纳法是证明与有关的命题的一种方法，数学归纳法的思想是一种的思想 2数学归纳法证明的步骤(1)(归纳奠基)证明当 nn0 时命题成立；(2)(归纳递推)假设(kN*，且 kn0)时命题成立，证明时命题也成立 由(1)、(2)可知，结论对于都成立 正整数递推取第一个值当nknk1nn0，nN*3使用数学归纳法应注意的问题(1)两个步骤缺一不可，第一步验证 P(n0)成立是推理的基础，第
2、二步由 P(k)P(k1)成立是推理的依据(由 n0成立，推出 n01 成立；由 n01 成立，又可推出 n02 成立如此递推，可知命题对一切自然数 n(nn0)均成立)(2)n0 是命题成立的起始值，不一定是正整数的起始值1.(3)由 nk 到 nk1 必须使用归纳假设，否则不是数学归纳法(4)由 nk 到 nk1 时，增加的项也不一定只有一项 1如果命题 P(n)对于 nk(kN*)时成立，则它对一切nk2 也成立，若 P(n)对于 n1 时成立，则 P(n)对所有()A正整数成立B正偶数成立 C正奇数成立D大于 1 的正整数成立 解：由 n1 成立，根据 nk 时成立，nk2 时成立知
3、n3 成立，又由第 2 步，得到 n5 成立由此可知对一切正奇数成立 答案：C2用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证 n1 成立时，左边计算所得的项是()A1B1a C1aa2D1aa2a3 解：验证初值时需要考察和式的结构特点n1 时，左边1aa2.答案：C3已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明 1121314 1n12(1n2 1n4 12n)时，若已假设 nk(k2，k 为偶数)时命题为真，则还需要证明()Ank1 时命题成立Bnk2 时命题成立 Cn2k2 时命题成立Dn2(k2)时命题成立 解：用数学归纳法证明时，首先要明确 n 的定义域，只有在定义域
4、内的假设证明才是有效的此题当 nk 时命题成立，那么 k 是偶数，k1 就是奇数了，故 A 是错误的数学归纳法中 nk1 时命题成立，是表明 n 取下一个“合理”的自然数时命题也成立，此题中要证明 n 取下一个偶数 k2 时命题也成立，故选 B.答案：B4利用数学归纳法证明不等式“1121312n1n(n2，nN*)”的过程中，由 nk 变到 nk1 时，左边增加了()A1 项Bk 项 C2k1 项D2k 项 解：增加了的项为：12k12k112k2k1，即 2k 项 答案：D5用数学归纳法证明：凸多边形的内角和 f(n)(n2)180(n3)，第一步应验证；假设 n 边形内角和 f(n)(n
5、2)180，则 f(n1)f(n)，从而再用假设 解：由 n3，故初值 n03，即三角形内角和为 180.由凸 n 边形变为凸 n1 边形时，相当于增加了一个三角形，故 f(n1)f(n)180.答案：f(3)180 180证明恒等式证明不等式归纳、猜想、证明考点1证明恒等式【例 1】用数学归纳法证明：112131412n112n1n1 1n2 12n.证明：(1)当 n1 时，左边11212，右边12，命题成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时命题成立，即 112131412k1 12k 1k1 1k2 12k.那么当 nk1 时，左边112131412k1 12k12k112k2 1k1
6、 1k2 12k12k112k2 1k2 1k312k112k2.上式表明当 nk1 时命题也成立 根据(1)、(2)可知，对任意的 nN*，等式都成立【变式探究】1用数学归纳法证明：122232(n1)2n2(n1)212n2n213(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边121，右边131(2121)1，等式成立(2)假设 nk(k1，kN*)时等式成立，即 1222(k1)2k2(k1)22212k2k213，则当 nk1 时，左边1222(k1)2k2(k1)2k22212 13k(2k21)k2(k1)213k(2k23k1)(k1)2 13k(2k1)(k1)(k1)213(k1)
7、(2k2k3k3)13(k1)2(k1)21右边，所以 nk1 时，等式也成立 根据(1)、(2)可知，对 nN*，等式成立 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些命题的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值有关，当 nk 到 nk1 时，等式的两边各会增加多少项，增加怎样的项对于证明恒等式的问题，在由 nk 到 nk1 时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性 考点2证明不等式【例 2】证明不等式：1 12 13 1n2 n(nN*)证明：(1)当
8、n1 时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k1，kN*)时，不等式成立，即 1 12 13 1k2 k，则 nk1 时，左边1 12 13 1k1k1 2 k1k12 kk11k1 56(n2，nN*)证明：(1)当 n2 时，左边1314151656，不等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时命题成立，即 1k1 1k2 13k56，则 nk1 时，1k111k12 13k 13k113k213k1 1k1 1k2 13k(13k113k213k3 1k1)56(13k113k213k3 1k1)56(313k3 1k1)56.所以当 nk1 时不等式也成立 由(1)
9、、(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*均成立 点评：(1)用数学归纳法证明不等式时，常常要结合分析法、放缩法等其他证明不等式的方法(2)用数学归纳法证明不等式要有目标意识，在本题中，考虑到 nk1 时不等式的左边为分式，右边是根式，一般将要证明的不等式两端都化为同一形式，根据目标进行合理放缩 考点3归纳、猜想、证明【例 3】设函数 f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的导函数令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求 gn(x)的表达式 解：由题意知，g(x)x1x，由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1 x1x
10、x12x，g3(x)g(g2(x)x12x1x12xx13x，猜想 gn(x)x1nx.下面用数学归纳法证明：当 n1 时，g1(x)x1x，结论成立；假设 nk(k1，kN*)时结论成立，即 gk(x)x1kx，那么，nk1 时，gk1g(gk(x)x1kx1x1kxx1k1x，即 nk1 时，结论也成立 由可知，结论对 nN*恒成立，即 gn(x)x1nx.【变式探究】3已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*)求：(1)S2，S3，S4；(2)数列an的前 n 项和 Sn(写出推证过程)解：(1)当 n2 时，S24a24(S2a1)，解得 S243；当 n3
11、 时，S39a39(S3S2)，解得 S33264；当 n4 时，S416a416(S4S3)，解得 S485.(2)猜想 Sn 2nn1.下面进行证明：证法一：(数学归纳法)当 n1 时，猜想显然成立；假设 nk(k1，kN*)时，猜想成立，即 Sk 2kk1，则当 nk1 时，Sk1(k1)2ak1(k1)2(Sk1Sk)，即 Sk1(k1)2(Sk1 2kk1)解得 Sk12k2k2 2k1k11，这表明，当 nk1 时，猜想也成立 由可知，对所有 nN*，均有 Sn 2nn1.证法二：(累乘法)因为 Snn2an，所以 Snn2(SnSn1)，即 SnSn1 n2n21(n1)所以 S
12、nS1S2S1S3S2 SnSn1 22221 32321 n2n21 2213 3224n2n1n1 2nn1.点评：(1)“归纳猜想证明”，是不完全归纳法与完全归纳法的综合运用，是一种重要的数学方法，其中猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，两者相辅相成(2)与正整数有关的命题，猜想得到的结论，常常用数学归纳法进行证明，当然根据特点，也可选择其他方法进行证明 1数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种方法，数学归纳法的思想是一种递推的思想，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础；第二步是递推的依据，解决的是延续性问题运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：(1)“两个步骤，一个
13、结论”，缺一不可；(2)第二步中，证明“nk1 时结论正确”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“nk 时结论成立”这一条件，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法(3)在第二步证明中，“nk 时结论成立”这一归纳假设起着已知的作用，“nk1 时结论成立”则是求证的目标，在这一步，要注意“两凑”，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后凑出当 nk1 时的结论 2“观察归纳猜想证明”，是不完全归纳法与数学归纳法的综合运用，用实验、分析、综合、类比、抽象、概括等逻辑方法探索有关问题，得出猜想(命题)，再用数学归纳法证明猜想是否成立，这是常用的数学方法，要求引起足够重视 点击进入WORD链接
