1、第 27 讲 平面向量的应用【学习目标】平面向量在平面几何、解析几何、三角函数、数列、物理学等方面的综合应用.【基础检测】1.设 a，b 是两个不共线的非零向量，已知AB 2akb，BC ab，CD a2b，若 A、B、D 三点共线，则实数 k 的值为()A.1 B.2 C.2 D.1 D【解析】由已知，BD BC CD 2ab，AB 2akb，因为 A、B、D 三点共线，则AB BD，所以 2akb2ab，即22，k k1.故选 D.2.设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a|b|b|成立的充分条件是()A.|a|b|且 abB.abC.abD.a2bD【解析】利用向量的相等与
2、共线知识解决.a|a|表示与 a 同向的单位向量，b|b|表示与 b 同向的单位向量.只要 a 与 b 同向就有 a|a|b|b|，观察选择项易知 D 满足题意.3.设向量 a1，cos 与 b1，2cos 垂直，则 cos 2 等于()A.22 B.12C.0 D.1C【解析】因为 a1，cos 与 b1，2cos 垂直，所以 ab 1，cos 1，2cos 1 1 2cos20，cos 20.4.已知 A(3，3)，O 是原点，点 P(x，y)的坐标满足 3xy0，x 3y20，y0，则OA OP|OP|的取值范围为.3，3)【解析】作出可行域，OA 与OP 的夹角6，56，所以OA OP
3、|OP|OA|cos 2 3cos 3，3).【知识要点】1.向量应用的常用结论两个向量垂直的充要条件.向量表示：ab.坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab.两个向量平行的充要条件.向量表示：若 ab，且 b0，则；坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab夹角公式：cos (0180).模长公式：|a|a2 x2y2.数量积性质：|ab|a|b|.ab0 x1x2y1y20 x1y2x2y10 或x1x2，y1y2.ab|a|b|R，使ab2.向量应用的分类概述应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和不等式为背景的一种向量描述.它需要掌握向量的概念
4、及基本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的“数”、“形”两重性解决问题.平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述.它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体.平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的线性运算(三角形法则，平行四边形法则)和几何图形的基本性质.平面
5、向量在物理力学等实际问题中的应用，是以实际问题为背景，考查学科知识的综合及向量的方法.一、用向量解决平面几何问题例 1 已知 A，B 是圆 O：x2y21 上的两个点，P 是 AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则AO AP AP 2 的最大值是()A.1 B.0 C.18 D.12C【解析】SAOB12|OA|OB|sinAOB，故当AOB90时，AOB 的面积取最大值，|OA|OB|1，故AOB 为等腰直角三角形，且OABOBA4，由于点 P 在线段 AB 上，则存在 x(0，1)，使得AP xAB；OP OA AP OA xAB OA x(OB OA)(1x)OA xOB，AO
6、AP AP 2AP(AO AP)AP PO(xOB xOA)(x1)OA xOB x(1x)OA 2x2OB 2x(1x)x22x2x，故当 x14时，2x2x 取最大值18.二、平面向量与三角函数、解三角形的综合问题例 2 已知在锐角ABC 中，两向量 p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A，1sin A)，且 p 与 q是共线向量.(1)求 A 的大小；(2)求函数 y2sin2BcosC3B2取最大值时，B的大小.【解析】(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A34，sin A 32，ABC
7、 为锐角三角形，A60.(2)y2sin2BcosC3B2 2sin2Bcos180BA3B2 2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 60 112cos 2B 32 sin 2B1sin(2B30)，当 2B3090，即 B60时，函数取最大值 2.三、平面向量与线性规划的综合问题例 3 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)内.(1)若PAPBPC 0，求OP；(2)设OP mAB nAC(m，nR)，用 x，y 表示mn，
8、并求 mn 的最大值.【解析】(1)因为PAPB PC 0，所以(OA OP)(OB OP)(OC OP)0，即得OP 13(OA OB OC)(2，2)，最后求得|OP|2 2.(2)因为OP mAB nAC，所以(x，y)(m2n，2mn)，即xm2ny2mn，两式相减得：mnyx，令 yxt，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)内，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.【命题立意】知识：向量的坐标形式及运算，向量的模，线性规划.能力：用线性规划知识确定目标函数的最值，考查运算求解能力；解题过程要作出图形，考查了数形结合的思想.试
9、题难度：中等.备选题例 4 设 0，点 A 的坐标为(1，1)，点 B 在抛物线 yx2 上运动，点 Q 满足BQ QA，经过点 Q 与 x轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P满足QM MP，求点 P 的轨迹方程.【解析】由QM MP 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则 x2y0(yx2)，即 y0(1)x2y.再设 B(x1，y1)，由BQ QA，即(xx1，y0y1)(1x，1y0)，解得x1（1）x，y1（1）y0.将式代入式，消去 y0，得 x1（1）x，y1（1）2x2（1）y.又点 B 在抛物线 yx2 上，
10、所以 y1x21，再将式代入 y1x21，得(1)2x2(1)y(1)x2，(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2，2(1)x(1)y(1)0.因 0，两边同除以(1)，得 2xy10.故所求点 P 的轨迹方程为 y2x1.1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、
11、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽量用坐标运算.1.(2015 安徽)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB 2a，AC 2ab，则下列结论
12、中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a 为单位向量；b 为单位向量；ab；bBC；(4ab)BC.【解析】根据向量的有关概念、线性运算及数量积求解.AB 24|a|24，|a|1，故正确；BC AC AB(2ab)2ab，又ABC 为等边三角形，|BC|b|2，故错误；bAC AB，ab12AB(AC AB)1222cos 60122210，故错误；BC b，故正确；(AB AC)(AC AB)AC 2AB 2440，(4ab)BC，故正确.2.(2015 四川)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴 CD 上，且PCPD1.(1)求椭圆 E 的方程
13、；(2)设 O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于 A，B两点.是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b).又点 P 的坐标为(0，1)，且PCPD 1，于是1b21，ca 22，a2b2c2.解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24 y221.(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).联立x24 y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x2
14、4k2k21，x1x222k21.从而，OA OB PAPB x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1（24）k2（21）2k21 12k212.所以，当 1 时，12k2123.此时，OA OB PAPB3 为定值.当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PCPD 213.故存在常数 1，使得OA OB PAPB 为定值3.1.已知 a，b 为非零向量，则“ab”是“函数 f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B【解
15、析】ab，ab0，f(x)(|b|2|a|2)x不一定是一次函数，反之成立.2.设向量 a(3sin cos 1，1)，b(1，1)，3，23，m 是向量 a在向量 b 方向上的投影，则|m|的最大值是()A.3 22B.4C.2 2D.3C【解 析】|m|a|ab|a|b|ab2 3sin cos 222sin6 222sin6 2，3，23，|m|的最大值是 2 2.3.直线 x 3y2 30 与圆 x2y24交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB()A.4 B.3 C.2 D.2C【解析】由x 3y2 30，x2y24，解 得x 3，y1或x0，y2，即 A(3，1)，B(0，
16、2)，OA OB 2，故选 C.4.若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值等于_.【解析】AB(a2，2)，AC(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即 ab2a2b0，所以1a1b12.125.在ABC 中，若 AB1，AC 3，|AB AC|BC|，则BA BC|BC|_.【解析】由|AB AC|BC|，知ABC是以 A 为直角的直角三角形，则BA BC|BC|cos B12.126.已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，M(1，1)，N(0，1)，Q(2，3)，动点 P(x，y)满足不等式 0OP OM 1，0OP ON 1，则 zOQ O
17、P 的最大值为_.3【解析】由题意OP(x，y)，OM(1，1)，ON(0，1)，OQ(2，3)，OP OM xy，OP ON y，OQ OP2x3y，即在0 xy10y1条件下，求 z2x3y的最大值，由线性规划知识知，当 x0，y1 时有最大值 3.7.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.若AB AC CA CB k(kR).(1)判断ABC 的形状；(2)若 k2，求 b 的值.【解析】(1)AB AC cbcos A，CA CB bacos C，bccos Aabcos C，根据正弦定理，得 sin Ccos Asin Acos C，即 sin Acos Ccos
18、Asin C0，sin(AC)0，AC，即 ac.则ABC 为等腰三角形.(2)由(1)知 ac，由余弦定理，得 AB AC bccos Abcb2c2a22bcb22.AB AC k2，即b22 2，解得 b2.8.已知 A，B，C 是直线 l 上的不同三点，O 是 l 外一点，向量OA，OB，OC 满足OA 32x21 OB(ln xy)OC，记 yf(x).(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)求函数 yf(x)的单调区间.【解析】(1)OA 32x21 OB(ln xy)OC，且 A，B，C 是直线 l 上的不同三点，32x21(ln xy)1，y32x2ln x.(2)f(x)32x2ln x，f(x)3x1x3x21x.y32x2ln x 的定义域为(0，)，而 f(x)3x21x在(0，)上恒为正，yf(x)在(0，)上为增函数，即 yf(x)的单调增区间为(0，).
