1、圆1在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为解：设，的中点，圆的圆心，半径，圆心到的距离，直线上存在点，使得，设，则，；，则，整理，得，直线上存在点，使得，整理，得，解得故答案为：，2在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为解：设，的中点，圆的圆心，半径，圆心到的距离，直线上存在点，使得，设，则，得，即，整理，得，直线上存在点，使得，解得故答案为：3直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是解：因为为的中点，所以，又因为，所以为等腰直角
2、三角形，所以，即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，要使得恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，而在直线上，到直线的距离所以以为直径的圆的半径的最小值为，所以的最小值为故答案为：4已知实数、满足，则的取值范围是解：为圆上任意一点，则到直线的距离，即，设圆与直线相切，则，解得的最小值为，最大值为，则，故答案为：，5已知，圆，直线，分别与圆相切，切点为，若，则的最小值为解：如图，由，可知为的中点，设，则切线的方程为，即，同理，都过，则，在直线上，则即直线的方程为直线过定点，则在以为为直径的圆，故答案为：6已知点，关于坐标原点对称，以为圆心的圆过，两点，且与直线相切若存在定点，使得当
3、运动时，为定值，则点的坐标为解：线段为的一条弦，是弦的中点，圆心在线段的中垂线上，设点的坐标为，则，与直线相切，整理得，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，存在定点使得当运动时，为定值故答案是：7设，是两个实数，直线和圆交于两点，若对于任意的，均存在正数，使得的面积均不小于，则的最大值为解：设到直线的距离为，则，解得，即，所以，因为，时，所以，因为存在满足条件，所以，化简得，且，设，即，在平面直角坐标系中，直线和由，且表示的平面区域有公共点，如右图当直线经过点时，最大，故答案为：8平面直角坐标系中，圆与直线相交于两点，若圆上存在点（可与点，重合），使得，则的
4、取值范围为解：如图，到直线的距离为，则再由题意可得，关于直线对称，设，则，设，由，得，又，整理可得即若圆上存在点（可与点，重合），使得，则解左边得：，解右边得：综上可得，的取值范围为，故答案为：，9已知圆，点，直线与圆交于，两点，点在直线上且满足若，则弦中点的横坐标的取值范围为解：点在直线上且满足可得，为线段的三等分点，先证明在三角形中，为边上的中线，即，可得，则，在三角形中，可得，则即，即，所以，设，可得，化为，可令，联立可得，解得，所以由在圆内，可得的横坐标，故答案为：，10已知点为坐标原点，圆，圆，分别为圆和圆上的动点，面积的最大值为解：如图以为直径画圆，延长交新圆于，交新圆于点，连接，
5、则与垂直，又，故为的中点，由对称性可得，由，可得，当最大时，最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形的面积的最大值，由圆内接三角形的面积，由，为凸函数，可得，当且仅当时，取得等号，可得即三角形的面积的最大值为进而得到最大值为，故答案为：11已知直线交圆于，两点，则的取值范围为解：设中点为，圆，圆心，化为，直线过定点，所以，所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧，联立，解得，所以的轨迹方程为，圆心到直线的距离为，过与直线垂直的直线方程为，它与圆的交点为，点，在点轨迹上，点，不在点轨迹上，所以到直线的距离的最大值为，点，到直线距离为，所以点到直线的距离为，故答案为：，12若对圆上任意一点，的取值与，
6、无关，则实数的取值范围是解：设，故可以看作点到直线与直线距离之和的5倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，如图所示：可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时圆在两直线内部，当直线与圆相切时，化简得，解得或（舍去），故答案为：13已知圆，圆，点，动点，分别在圆和圆上，且，则的长的取值范围是解：设，、，则，即，即，；设中点为，则；，；即，点，的轨迹是以，为圆心、半径等于的圆，；，；，故的范围为，故答案为：，14已知为坐标原点，圆，圆，分别为圆和圆上的动点，则的最大值为解：如图以为直径画圆，延长交新圆于，交新圆于点，连接，则与垂直，又，为的中点，由对称性可得，由，可得
7、，当最大时，最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形的面积的最大值，由圆内接三角形的面积，由，为凸函数，可得，当且仅当时，取得等号，可得即三角形的面积的最大值为进而得到最大值为，故答案为：15过曲线上的点向圆作两条切线、，切点为、，且，若这样的点有且只有两个，则实数的范围是解：根据题意，若经过点作圆的两条切线，切点为，且，则，则有，则的轨迹为，当时，曲线为，当时，曲线为，当时，若这样的点有且只有两个，必有，即，解可得，当时，曲线为，符合题意，当时，若这样的点有且只有两个，必有，解可得，则的取值范围为，；故答案为：，16已知直线与圆相交于，两点，点，且，若，则实数的取值范围是解：联立，消去得：，设，即，即，设（b），由（b）在区间上单调递增，（b），解得：或，的取值范围，故答案为：，