1、第 24 讲 平面向量的概念与其线性运算【学习目标】1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.理解向量的加法和减法及几何意义.3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.【基础检测】1.若向量AB(1，2)，BC(3，4)，则AC()A.(4，6)B.(4，6)C.(2，2)D.(2，2)A【解析】AC AB AC(4，6).2.如图，已知AB a，AC b，BD 3DC，用 a，b 表示AD，则AD()A.a34bB.14a34bC.14a14bD.34a14bB【解析】CB AB AC ab，又BD 3DC，CD 14CB 14(ab)，AD AC CD b1
2、4(ab)14a34b.3.设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2，1)，且 a 与b 的方向相反，则 a 的坐标为.【解析】设 a(x，y)，x0，y0，则 x2y0且 x2y220，解得 x4，y2(舍去)，或者 x4，y2，即 a(4，2).(4，2)4如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，若OAa，OB b，则OP，OQ (用a、b 表示)23a13b13a23b【知识要点】1.向量的有关概念(1)向量：叫向量，一般用 a，b，c，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB|.(2)零向量：的向量，记作 0，其方
3、向是任意的.我们规定：零向量和任何向量平行.(3)单位向量：单位长度的向量.与非零向量 a 同向的单位向量为 a|a|，与 a 反向的单位向量为 a|a|.(4)相等向量：长度相等且的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为 ab.既有大小又有方向的量长度为零长度等于1个方向相同(5)平行向量：方向的非零向量，叫做共线向量，因此任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.2.向量的加、减运算.(1)向量加、减法的定义.求两个向量和的运算叫做向量的加法；若，则向量 x 叫做 a 与 b 的差.(2)向量加、减法的几何意义.向量加法的几何意义向量的加法符合平行四边形法则和.相同或相反bxa三角
4、形法则如图所示的向量AC ab.向量减法的几何意义向量的减法符合.如图所示的向量BAab(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量).常用结论M 为AOB 边 AB 的中点，则OM 12(OA OB).三角形法则(3)线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则OM 12OA OB.向量加法的多边形法则：有限个向量a1，a2，an相加，可以从点O出发，逐一作向量OA1 a1，A1A2 a2，An1Anan，则向量OAn 是这些向量的和，即a1a2anOA1 A1A2 An1AnOAn(向量加法的多边形法则).当An和O重合时(即上述折线OA1A2An成封闭折线时)，和
5、向量为零向量.3.向量的数乘运算(1)数乘向量的定义实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a 与 a 的；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0；当 a0 时，.(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或a 的反方向伸长或缩短.方向相同a0(3)数乘向量的运算律设、为实数，则()aa a；(a)()a；(ab)ab.(4)共线向量(平行向量基本定理)若 ab，则 ab；反之，若 ab(b0)，则一定存在一个实数，使 ab.一、向量概念及其几何意义例 1 给出下列命题：已知，R，则()a 与 a
6、共线；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；向量AB 与CD 是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上；四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是ABDC；已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是ABC内的一点，若OA OB OC 0，则 O 是ABC 的重心；O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心.其中正确命题是(填命题的序号).【解析】由实数与向量的积，可知其正确.若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确.AB CD，AB 和 CD 可以共线
7、，也可以平行，故不正确.若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，所以AB DC；若四边形 ABCD 中，AB DC，则 AB綊 CD，所以四边形 ABCD 是平行四边形，故正确.因为OA OB OC 0，所以OA(OB OC)，即OB OC 是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示，以 OB，OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，则OD OB OC，所以OD OA，在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，则BE EC，OE ED.所以 AE 是ABC 的边 BC 的中线，且|OA|2|OE|.所以 O 是ABC 的重心，故正确.AB|AB|与 AC|A
8、C|分别表示AB 与AC 方向的单位向量，设它们分别为AB 与AC，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形 ABPC，AP 平分BAC，AP(AB AC)与AP 的方向相同，也平分BAC.由OP OA AP知 P 的轨迹为BAC 的平分线，一定通过ABC 的内心，故正确.故填.【点评】1.AB|AB|表示与AB 同方向的单位向量.2.向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用.二、平面向量的线性运算例 2(1)设 O 是ABC 内部的一点，且OA 2OB 2OC 0.则ABC 和OBC 的面积之比为()A.32 B.52C.41 D.51(2)如图，平面内有三个
9、向量OA，OB，OC，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30，且|OA|2，|OB|32，|OC|2 3，若OC OA OB(，R)，则()A.4，2 B.83，32C.2，43D.32，43CD(3)如图，在OAB 中，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 交于点 M，设OA a，OB b，以 a、b 为基底表示OM.【解析】(1)如图所示，OA 2OB 2OC 0，OA 2(OB OC)2OE，而OE 2OD，OA 4OD，|OA|4|OD|.设 A、O 到 BC 的距离分别是 h，h1，则h1h 15.又ABC 与OBC 同底，SABCSOBC51，选
10、 D.(2)设与OA，OB 同方向的单位向量分别为 a，b，依题意有OC 4a2b，又OA 2a，OB 32b，则OC 2OA 43OB，2，43.故选 C.(3)设OM manb(m，nR)，则AM OM OA(m1)anb，AD OD OA 12baa12b，因为 A，M，D 三点共线，所以m11 n12，即 m2n1.而CM OM OC m14 anb，CB OB OC b14a14ab，因为 C，M，B 三点共线，所以m1414n1，即 4mn1.由m2n1，4mn1，解得m17n37，所以OM 17a37b.【点评】(1)本题利用两次共线的条件，并且注意方程思想的利用；(2)解决类似
11、问题应重视平面几何的知识；(3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握.三、向量共线的判定与应用例 3 已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点.(1)求GA GB GO；(2)若 PQ 过ABO 的重心 G，且OA a，OB b，OP ma，OQ nb，求证：1m1n3.【解析】(1)GA GB 2GM，又 2GM GO，GA GB GO GO GO 0.(2)显然OM 12(ab).因为 G 是ABO 的重心，所以OG 23OM 13(ab).由 P，G，Q 三点共线，得PG GQ，所以，有且只有一个实数，使PG GQ.而PG OG OP 13(a
12、b)ma13m a13b，GQ OQ OG nb13(ab)13an13 b，所以13m a13b13an13 b.又因为 a，b 不共线，所以13m13，13n13，消去，整理得 3mnmn，故1m1n3.备选题例 4 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4A1A2(R)，且112，则称 A3，A4 调和分割A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面的说法正确的是()A.C 可能是线段 AB 的中点B.D 可能是线段 AB 的中点C.C，D 可能同时在线段 AB 上D.C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上D
13、备选题例 4 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4A1A2(R)，且112，则称 A3，A4 调和分割A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面的说法正确的是()A.C 可能是线段 AB 的中点B.D 可能是线段 AB 的中点C.C，D 可能同时在线段 AB 上D.C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上【解析】依题意，若 C，D 调和分割点 A，B，则有AC AB，AD AB，且112.若 C 是线段 AB 的中点，则有AC 12AB，此时 12.又112，所以10，不可能成立.因此 A 不对，同理 B 不对
14、.当 C，D 同时在线段 AB 上时，由AC AB，ADAB 知 01，02，与已知条件112 矛盾，因此 C 不对.若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则AC AB时，1，AD AB 时，1，此时112，与已知112 矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上.【点评】本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点 C 在线段 AB 上，则当AC AB 时，01，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用，本题难度适中.1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算
15、的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.1.(2015 四川)设向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，则实数 x()A.2 B.3 C.4 D.6B【解析】利用
16、共线向量的坐标运算求解.ab，264x0，解得 x3.2.(2015 全国新课标)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A.(7，4)B.(7，4)C.(1，4)D.(1，4)A【解析】解析 1：设出点 C 坐标，并利用AC(4，3)求出点 C 坐标，然后计算BC 的坐标.设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而BC(4，2)(3，2)(7，4).故选 A.解析 2：利用BC AC AB 求解.AB(3，2)(0，1)(3，1)，BC AC AB(4，3)(3，1)(7，4).故选 A.1.平面向量 a，b 共线的充要条件是()A.a
17、，b 方向相同B.a，b 两向量中至少有一个为零向量C.R，baD.存在不全为零的实数 1，2，使得 1a2b0D2.已知 M(2，7)，N(10，2)，点 P 是线段 MN上的一点，且PN 2PM，则 P 点的坐标是()A.(14，16)B.(22，11)C.(6，1)D.(2，4)D【解析】设 P(x，y)，PN(10 x，2y)，PM(2x，7y)，由PN 2PM，得 x2，y4.3.已知ABC，D 是 BC 边上的一点，AD AB|AB|AC|AC|，|AB|2，|AC|4，若记AB a，AC b，则用 a，b 表示BD 所得的结果为()A.12a12bB.13a13bC.13a13b
18、D.12a13bC【解析】由AD AB|AB|AC|AC|知 AD 是ABC 的角平分线，所以BDDCABAC12，所以BD 13BC 13(AC AB)13a13b，故选 C.4.在平面上，AB1 AB2，|OB1|OB2|1，APAB1 AB2.若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2 D.72，2D【解析】因为AB1 AB2，所以可以 A 为原点，分别以AB1，AB2 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设 B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，则APAB1 AB2(a，b)，即 P(a，b).由|OB1|OB2|1，得(xa)2
19、y2x2(yb)21.所以(xa)21y20，(yb)21x20.由|OP|12，得(xa)2(yb)214，即01x21y214.所以74x2y22，即 72 x2y2 2.所以|OA|的取值范围是72，2，故选D.5.已知 i，j 是方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量 ij 的模等于_.【解析】ij 的模是以 i，j 为邻边的正方形对角线的长.26.已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE BD _.2【解析】选向量的基底为AB，AD，则BD AD AB，AE AD 12AB，那么AE BD AD 12AB(AD AB)2.7.已知
20、直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_.5【解析】解法一：以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx.D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，|PA3PB|的最小值为 5.解法二：设DP xDC(0 x1)，PC(1x)DC，PADA DP DA xDC，PBPCCB(1x)DC 12DA，PA3PB52DA(34x)DC，|PA3PB|2254DA 2252(34x)DA DC(34x)2DC 225(34x)2DC 225，|PA3PB|的最小值为 5.8.已知ABC 中，AB a，AC b，对于平面 ABC上任意一点 O，动点 P 满足OP OA ab，则动点 P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由.【解析】依题意，由OP OA ab，得OP OA(ab)，即AP(AB AC).如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，对角线交于 O，则APAD，A，P，D 三点共线，即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线，由图可知 P 点轨迹必过ABC 边 BC 的中点.
