1、第 61 讲 坐标系及简单的极坐标方程【学习目标】1.理解坐标系的概念，体会平面直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中刻画点的位置的方法与作用；2.理解极坐标系及极坐标的有关概念，掌握简单曲线的极坐标方程.【基础检测】1.点 M 的直角坐标是(1，3)，则点 M 的极坐标为()A.2，3B.2，3C.2，23 D.2，2k 3，(kZ)C【解析】1 23 22，tan 31 3，因为点1，3 在第二象限，所以 23.所以点 M 的极坐标为2，23.故 C 正确.2.将极坐标2，32 化为直角坐标为()A.(0，2)B.(0，2)C.(2，0)D.(2，0)B【解析】x2cos32 0，y2sin32
2、 2，所以选 B.3.在极坐标系中，点2，3 到圆 2cos 的圆心的距离为()A.2 B.429C.929D.7D【解析】在直角坐标系中，点2，3 的坐标即1，3，圆2cos 的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，所以所求距离为（11）2（30）2 7.选 D.4.在极坐标系中，与圆 4sin 相切的一条直线方程为()A.sin 2 B.cos 2C.cos 4 D.cos 4B【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程得：圆 4sin 24sin 的直角坐标方程：x2y24y，化为标准方程得 x2(y2)24，知其圆心为(0，2)，半径为2.对于 A：sin 2y2；对于 B：cos 2x
3、2；对于 C：cos 4x4；对于 D：cos 4x4；作出草图知只有直线 x2 与已知圆相切；故选 B.5.已知曲线 C1，C2 的极坐标方程分别为 cos 3，4cos 0，0 2，则曲线 C1 C2 交点的极坐标为.【解析】解方程组cos 34cos 得2 36.2 3，6 【知识要点】1.平面直角坐标系，空间直角坐标系2.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换3.极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.其中，点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴.如图所示，
4、设 M 是平面上任一点，表示 OM 的长度，表示以射线 OX 为始边，射线OM 为终边所成的角，那么，有序数对称为点M的极坐标.显然，每一个有序实数对(，)决定一个点的位置.其中，称为点 M 的，称为点 M 的.由极径的意义可知 0，当极角 的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 0，极角 可取任意角.(,)极径极角为了研究方便，在极坐标中，极径 允许取负值，极角 也可以取任意的正角或负角.当 0 时，点 M(，)位于极角终边的，且 OM|.一般地，如果(，)是点 M 的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)
5、都可以作为点 M 的极坐标，但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系.反向延长线上4.点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图).平面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(，)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：_.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 0，0 0)的一个交点在极轴上，则 a.221【解析】(1)圆2 的直角坐标方程为 x2y24，直线(cos 3sin)6 的直角坐标方程为 x 3y60.圆心(0，0)到直线的距离 d623，圆上的点到直线的距离
6、的最小值为 dr321.(2)曲线 C1 的直角坐标方程是 2xy1，曲线 C2的普通方程是直角坐标方程 x2y2a2，因为曲线 C1：(2cos sin)1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，所以 C1 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由 y0，x 22，知 a 22.【点评】(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x 轴正半轴重合时，可用 xcos，ysin 将直角坐标方程化为极坐标方程；反之，利用 2x2y2，tan yx(x0)可以将直角坐标方程化为极坐标方程.(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后解决较为方便.三、综合应用例4在极坐标系中，已
7、知A(2，0)到直线l：sin4m(m0)的距离为 3.(1)求 m 的值.(2)设 P 是直线 l 上的动点，点 Q 在线段 OP 上，满足OP OQ 1，求点 Q 的轨迹方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为 x 的正半轴建立直角坐标系，则 A2，0，直线 l 的直角坐标方程是：xy 2m0，A 到 l的距离 d2 2m23,所以 m2.(2)由(1)得直线 l 的极坐标方程为 sin4 2，设Q(，)，P(0，0)，则010，所以010.Pl，0sin04 2，1sin4 2，点Q的轨迹方程是：12sin4.【点评】求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时
8、可与数形结合思想结合在一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.备选题例5在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为sin 2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线C3：cos4 2距离的最大值.【解析】(1)设P(，)，M(1，)，依题意有 1sin 2，14.消去1，得曲线C2的极坐标方程为 2sin(0).(2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程得C2：x2(y1)21，C3：xy2.C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d 3 22，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为13 22.1.点 M(，)的极坐标通式是(，2k)或(，2k )(kZ).如果限定 0，0 2 或0k2k3或k0k2k3，解得k1.