1、课时跟踪检测(二十六)椭圆的简单几何性质A级基础巩固1焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为()A.1B.y21C.1 Dx21解析：选A依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程是1.2已知椭圆1(m0，n0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Am225，n216Bm29，n225Cm225，n29或m29，n225Dm225，n29解析：选D因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以m225，n29.3曲线1与曲线k(k0)的()A长轴长相等 B短轴长相等C焦距相等 D离心率相等解析：
2、选D将椭圆k(k0)化为标准方程1(k0)易知椭圆1的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2，离心率e.而椭圆1(k0)的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2k，离心率e，所以两椭圆的离心率相等故选D.4F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，OPAB，那么该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A如图所示，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1，将代入得1，即e2，e，故选A.5(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C
3、于P，Q两点，则下列说法正确的是()A椭圆C的方程为x21B椭圆C的方程为y21C|PQ|DPF2Q的周长为4解析：选ACD由已知得，2b2，b1，又a2b2c2，解得a23.椭圆方程为x21，如图|PQ|，PF2Q的周长为4a4.故选A、C、D.6若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_解析：椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，2，m.答案：7已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(5，4)，则椭圆的方程为_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.设椭圆的标准方程为1(a0)，椭圆过点P(5，4)，1.解得a245.椭圆方程为
4、1.答案：18P为椭圆1上任意一点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是_解析：由题意知，()()()()22|24.因为ac|ac，即3|5，所以的取值范围是5，21答案：5，219在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，.由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故椭圆C的标准方程为1.10已知椭圆1，在该椭圆上是否存在点M，使得点M到椭圆
5、的右焦点F和到直线x4的距离相等若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：由已知得c2431，所以c1，故F(1，0)假设在椭圆上存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x4的距离相等，设M(x，y)(2x2)，则|x4|，两边平方得y26x15.又由1，得y23，代入y26x15，得x28x160，解得x4.因为2x2，所以符合条件的点M不存在B级综合运用11如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N.若过点F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1 B2C. D.解析：选A因为过点F1的直线MF1是圆F2
6、的切线，|MF2|c，|F1F2|2c，所以|MF1|c.由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，可得椭圆离心率e1.12(多选)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|2|PF2|，则椭圆的离心率可以是()A. B.C. D.解析：选BCD由椭圆的定义，可得|PF1|PF2|2a.又|PF1|2|PF2|，所以|PF1|a，|PF2|a.当点P与F1，F2不共线时，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即a.当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|ac，|PF2|ac，所以ac2(ac)，即a3c，所以e.综上，椭圆的离心率的取值范围是，故选
7、B、C、D.13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为_ cm，短轴长为_ cm，离心率为_解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为8(cm)，则c2(4)26212，c2，离心率e.答案：81214椭圆1(ab0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是y2.y2axx2.又P点在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a
8、2.由b2a2c2，得a2.又0e1，e1.C级拓展探究15(1)在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程a2cxa，将其变形为，你能解释这个方程的几何意义吗？(2)若椭圆E的方程为1内有一点P(1，1)，F为椭圆E的右焦点，根据上述方程的几何意义，在椭圆E上求一点M，使|MP|2|MF|最小解：(1)方程的几何意义是：点M(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x的距离的比是一个常数(即离心率)(2)根据上述方程的几何意义，由椭圆方程知a2，b，c1.e，即d2|MF|MM(如图所示)，故|MP|2|MF|PM|MM|.显然，当P，M，M三点共线时，|MP|2|MF|最小，从而求得M.