1、第4讲函数yAsin(x)的图象及应用考纲解读1.了解函数yAsin(x)的物理意义，能用五点法画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响(重点)2能结合yAsin(x)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌握对称轴与对称中心的求解方法及图象的平移和伸缩变换(重点、难点)3了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决一些简单的实际问题考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容一直是高考的一个考查热点预测2021年会把函数yAsin(x)的图象及性质和三角恒等变换相结合进行考查，尤其是函数图象的平移变换与性质的结合题型以客观题的形式为主，有时也会出现于解答题中
2、，试题难度以中档题为主.对应学生用书P0691.函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为(1)定点：如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象3.函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤1概念辨析(1)将函数y
3、3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)将函数y2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y2sin的图象()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，答案A解析函数y2sin的振幅是2，周期T，频率f，初相是，故选A.(2)用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_，_，_
4、，_，_.答案解析列表：xx02ysin01010五个点依次是，.(3)将函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则g_.答案解析函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数ycos2cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)cos，所以gcossin.(4)(2019长春模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)sin解析由图象可知A，所以，2，所以f(x)sin(2x)，又f，所以22k，kZ，2k，kZ，又|0，0，|
5、)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2 B C. D2答案C解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin0，所以sin0.又|0，左移；0，上移；k0，下移(2)伸缩变换沿x轴伸缩由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍如举例说明1沿y轴伸缩由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍3注意三角函数图象变换中的三个问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数如举例说明2；(2)
6、要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yAsinx到yAsin(x)的变换量是|个单位，而函数yAsinx到yAsin(x)时，变换量是个单位如举例说明2. 1(2020广州模拟)将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象，则f(x)()Asin BsinCsin Dsin答案B解析由题意知，先将函数ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)sinsin.2(2019青岛模
7、拟)将函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为()Ax BxCx Dx答案A解析当函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)2sin2sin.则函数g(x)的图象的对称轴方程可表示为4xk，kZ，即x，kZ.则g(x)的图象离原点最近的对称轴方程，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴方程为x.题型 二由图象确定y
8、Asin(x)的解析式1(2020郑州市第一中学高三摸底考试)已知f(x)Asin(x)b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为()A. B.C. D.答案D解析由图可知A2，b1，T2，所以2，所以f(x)2sin(2x)1，因为点在函数f(x)的图象上所以32sin1，即sin1.所以2k(kZ)，又|，所以，故f(x)2sin1，令2xk(kZ)，得x(kZ)，当k0时，x.所以函数f(x)的对称中心可以为.2(2019西安八校联考)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且函数f(x)的图象过点P，则函数f(x)()Asin BsinCs
9、in Dsin答案A解析由题意得 2，解得，所以函数f(x)sin，又因为函数f(x)的图象过点P，所以sin()，即sin，sin，又因为|0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.如举例说明1.(2)求：确定函数的周期T，则可得.如举例说明1.(3)求的常用方法代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)如举例说明1.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图
10、象的“谷点”x第五点图象第二次上升时与x轴的交点x21(2019四川绵阳诊断)如图是函数f(x)cos(x)的部分图象，则f(3x0)()A. BC. D答案D解析f(x)cos(x)的图象过点，cos，结合0，可得.由图象可得cos，x02，解得x0.f(3x0)f(5)cos.2已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图所示，则f等于_答案解析观察图象可知，所以，2，所以f(x)Atan(2x)又因为函数图象过点，所以0Atan，所以k(kZ)，所以k(kZ)又因为|，所以.又图象过点(0,1)，所以A1.综上知，f(x)tan，故ftan.题型 三三角函数图象性质的应用角度
11、1三角函数模型的应用1如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10答案C解析由图象可知，ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.角度2函数零点(方程根)问题2(2019哈尔滨六中模拟)设函数f(x)sin，x，若方程f(x)a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1x2x3，则x1x2x3的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由题意x，则2x，画出函数的大致图象，如图所示，由图得，当a1时，方程f(x)a恰好有三个根，由2x得x，由2
12、x得x，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x对称，x1x2，x3，则x1x2x30，0)；画出一个周期上的函数图象；利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题如举例说明2.(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题 1(2019玉溪模拟)函数f(x)log4x的图象与函数g(x)sinx的图象的交点个数是()A2 B3 C4 D5答案B解析如图，在同一坐标系中画出函数f(x)log4x，函数g(x)sinx的图象，当x4时，f(x)1，与g(x)1不再有交点，结合图象可知，交点个数为3.2一个大风
13、车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()Ah(t)8sint10Bh(t)cost10Ch(t)8sint8Dh(t)8cost10答案D解析设h(t)AcostB，因为12 min旋转一周，所以12，所以，由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A8，B10.所以h(t)8cost10.3函数f(x)Asin(x)的部分图象如图，则()A函数f(x)的对称轴方程为x4k(kZ)B函数f(x)的递减区间为(kZ)C函数f(x)的递增区间为8k1,8k5(
14、kZ)Df(x)1的解集为(kZ)答案D解析由题图知，A2，函数f(x)的最小正周期T4(31)8，故，所以f(x)2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin2，因为|0)的部分图象如图，则等于()A5 B4C3 D2答案B解析由图象可知，函数ysin(x)的最小正周期T2，所以，所以4.3(2019山西五校联考)设kR，则函数f(x)sink的部分图象不可能为()答案D解析当k0时，f(x)sin，其图象为A；当k2时，f(x)sin2，其图象为B；当k1时，f(x)sin1，其图象为C；由D的图象可知f(x)max2，则21kk1.此时，f(x)sin1的图象关于直线x对称，这与图象
15、不符，故选D.4(2020广东汕头摸底)若函数y3cos(2x)的图象关于点对称，则|的最小值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ.取k0，得|的最小值为.5(2019枣庄二模)将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则下列关于函数yg(x)的说法错误的是()A最小正周期为B图象关于直线x对称C图象关于点对称D初相为答案C解析易求得g(x)2sin，其最小正周期为，初相为，即A，D正确；而g2sin2，故函数yg(x)的图象关于直线x对称，即B正确，C错误，故选C.6(20
16、20湖北襄阳摸底)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值可以是()A. B. C. D.答案B解析由题意知g(x)sin(2x2)，由f(0)sin，0，0)的部分图象如图所示，则f的值是_答案解析由题中图象可知A，即T，又知T，2，即函数f(x)sin(2x)由题意知f，即sin，sin1，2k，kZ.2k(kZ)f(x)sinsin.fsin.9如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系时刻t0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深y(m)5.07.
17、05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深y(m)和时刻t(0t24)的关系可用函数yAsinth(其中A0，0，h0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为_ m.答案4解析从题表可以看出最大值和最小值分别为7,3，周期为T12，即且，解得所以y2sint5，所以当t11时，y2sin5514.10已知关于x的方程2sin1a0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是_答案2,3)解析2sin1a0化为sin，令tx，由x得，tx，画出函数ysint，t的图象和直线y，当1，即2a3时，函数ysint，t的图象和直线y有两个公共点，原方程有两个根组能力关1(2019石嘴山模
18、拟)将函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移个单位后得到函数yg(x)的图象，若函数yg(x)为偶函数，则函数yf(x)在的值域为()A1,2 B1,1C，2 D，答案A解析由已知得g(x)f2sin2sin，因为函数yg(x)为偶函数，所以k，kZ.又00，A0)，由T4，得4，所以.因为A，所以f(x)sin1.又函数f(x)的周期为4，且f(1)f(2)f(3)f(4)1.510.514，所以Sf(1)f(2)f(2020)505f(1)f(2)f(3)f(4)50542020.3水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个
19、半径为R的水车，一个水斗从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足yf(t)Rsin(t).则下列叙述正确的是_R6，；当t35,55时，点P到x轴的距离的最大值为6；当t10,25时，函数yf(t)单调递减；当t20时，|PA|6.答案解析由点A(3，3)，可得R6，由旋转一周用时60秒，可得T60，则，由点A(3，3)，可得AOx，则，故正确；由知，f(t)6sin，当t35,55时，t，即当t时，点P的坐标为(0，6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故正确；当t10,25时，t，由正弦函数的单调性可知，函数
20、yf(t)在10,25上有增有减，故错误；当t20时，水车旋转了三分之一周期，则AOP，所以|PA|6，故正确4已知函数f(x)2sin(其中01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x，上的图象解(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以k(kZ)，所以3k(kZ)，因为01，所以当k0时，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0xy120201作出函数的部分图象如图所示：组素养关1
21、已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将yf(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到yg(x)的图象若函数yg(x)在区间上的图象与直线ya有三个交点，求实数a的取值范围解(1)f(x)cos2sinsincos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)cos2xsin2xsin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得ysinsincos2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)cosx的图象作函数g(x)cosx在区间上的图象，及直线ya.根据图象知，实数a的取值范围是.2已知函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x对称，若存在x，使m23mf(x)成立，求实数m的取值范围解函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin1，即Asin.函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.
