1、71.2复数的几何意义新课程标准解读核心素养1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系直观想象2.通过复平面,把复数与向量建立起紧密的联系直观想象3.通过向量的模表示复数的模数学运算我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说,数轴可以看成实数的一个几何模型问题(1)你能否为复数找一个几何模型?(2)怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系?知识点一复平面及复数的几何意义1复平面:复数zabi(a,bR)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a,b)来表示,如图:2复数的几何意义实轴上的点都表示实数,那么虚轴上的点都表示纯虚数对吗?提示:不虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数1判断正误(正确的
2、画“”,错误的画“”)(1)原点是实轴和虚轴的交点()(2)在复平面内,虚数与复平面内的点一一对应()(3)复数与复平面内的无数多个向量对应()答案:(1)(2)(3)2复数z35i在复平面内对应的点的坐标是_答案:(3,5)3若(0,3),则对应的复数z_答案:3i知识点二复数的模及共轭复数1复数的模(1)定义:向量的叫做复数zabi(a,bR)的;(2)记法:复数zabi的模记为|z|或|abi|;(3)公式:|z|abi|(a,bR)2共轭复数(1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数;(2)表示:若zabi,a,bR,则共轭复数abi.若z1,z2是
3、共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?提示:它们所对应的点关于实轴对称1已知i为虚数单位,若(x2)yi和3xi互为共轭复数,则实数x,y的值分别是()A3,3B5,1C1,1 D1,1解析:选D(x2)yi和3xi互为共轭复数,解得2若复数a1(1a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A(,1) B(,1)C(1,) D(1,)解析:选B因为za1(1a)i,所以它在复平面内对应的点为(a1,1a),又因为此点在第二象限,所以解得a1.故选B.3已知复数z12i(i是虚数单位),则|z|_解析:z12i,|z| .答案:复数与复平面内点的关系例1(链接教科
4、书第71页例2)在复平面内,若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二、四象限;分别求实数m的取值范围解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8,虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或4.(2)由题意,(m22m8)(m23m10)0.2m4或5m2.母题探究1(变设问)本例中条件不变,若复数在第二象限,求m的范围解:由题意,2m4.2(变设问)本例条件不变,若复数在直线yx上,求m的值解:由已知得m22m8m23m10,故m.利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数zabi(a,b
5、R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据;(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解提醒复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示 跟踪训练1已知复数z(m3)(m1)i(mR)在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1,) D(,3)解析:选A由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,可得解得3m|z2|.(2)法一:设zxyi(x,yR),则点Z的坐标为(x,y)由|z|z1|2得 2,即x2y24.所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆法二:
6、由|z|z1|2知|2(O为坐标原点),故Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆复数模的计算(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小;(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解 跟踪训练1已知复数z12mi(mR),且|z|2,则实数m的取值范围是_解析:由|z| 2,解得m.答案:2求复数z168i与z2i的模,并比较它们的模的大小解:z168i,z2i,|z1| 10,|z2| .10,|z1|z2|.1若复数z2i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象
7、限C第三象限 D第四象限解析:选Cz2i,2i,在复平面内对应的点为(2,1)2已知i为虚数单位,在复平面内,O为原点,向量对应的复数为14i,向量对应的复数为36i,则向量对应的复数为()A32i B210iC42i D12i解析:选B因为向量对应的复数为14i,向量对应的复数为36i,所以(1,4),(3,6),所以(1,4)(3,6)(2,10),故向量对应的复数为210i.3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2,则实数m的值为()A1或3 B1C3 D2解析:选A|z|2,(m3)2(m1)24,解得m1或m3.4实数m取什么值时,复数z(m25m6)(m22m15)i.(1)对应的点在x轴上方;(2)对应的点在直线xy40上解:(1)由m22m150,得m5,所以当m5时,复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40,得m1或,所以当m1或时,复数z对应的点在直线xy40上