1、优培7 解三角形1、正、余弦定理的综合应用例1：在中，角，的对边分别为，若，且，则的取值范围为_【答案】【解析】因为，所以由正弦定理可得，又因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，所以，故的取值范围为2、正、余弦定理与三角函数图象性质的综合应用例2：在中，内角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，所以，可得，即由余弦定理得，又，所以（2）由因为，所以，又，所以，所以，得，所以，所以3、三角函数模型及其应用例3：一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定
2、点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持（1）当点Q运动到B点时，求OP的长；（2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度【答案】（1）；（2）米【解析】（1）在中，设，则，当点Q运动到B点时，所以，答：当点Q运动到B点时，OP的长为米（2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则因为线段AB的方程为，所以，因此，整理得，由，得，设直线和直线的交点为M；直线和直线的交点为N，则点P的运动轨迹为线
3、段MN，易解得，所以答：点Q在滑槽中运动时，求点P的运动轨迹的长度为米一、选择题1在中，角，的对边分别为，若，点是的重心，且，则的面积为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】由正弦定理得，或又，延长交于点，当时，的面积为；当时，的面积为，故选D2在中，已知，且为锐角若，且的面积为，则的周长为（ ）ABCD【答案】C【解析】中，解得或，又为锐角，设内角，所对的边分别为，又的面积为，为锐角，由余弦定理得，解得，的周长为3在中，角，所对的边分别是，已知，且，则的面积是（ ）ABC或D或【答案】D【解析】依题意由，即或当时，由正弦定理得，由余弦定理得，解由组成的方程组得，所以三角形面积为；当时，时，三角
4、形为直角三角形，故三角形面积，综上所述，三角形的面积为或，故选D4已知函数若锐角中角，所对的边分别为、，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，由，解得，又为锐角三角形，故，于是的取值范围是5如图，公路，围成的是一块耕地，其中，在该块土地中，处有一小型建筑物，经测量，它到公路，的距离分别为，现在要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园为节省耕地，则工业园的最小面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】过点作，垂足分别为，连接设，（，），则，由得，即又，解得，当且仅当，即，时取等号，即工业园的最小面积为6在中，内角，的对边分别为，其中为钝角，且满足，若点与点在的两侧，且
5、，四点共圆，则四边形面积的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得，由正弦定理得，又为钝角，又四点共圆，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立同理，在中，即，四边形面积的最大值为，故选C7已知锐角的内角，的对边分别为，若，则面积的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理得，可化简为，由，得，从而得，故选A8若函数（，）的部分图象如图所示，分别是图象的最低点和最高点，其中若在锐角中，分别是角、的对边，且，则周长的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由图象可得：的周期，即，得，又由于，又将代入，解得，由，或，解得或（舍去），由正弦定理，得，是锐角三角形，周
6、长的取值范围为二、填空题9如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据可得 【答案】【解析】因为，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，10在中，为的中点，若，则的最小值是 【答案】【解析】根据为的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理得，进一步求得，令，构造函数，令，可知当时，的最小值是11在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点P是的重心，且，则_【答案】或【解析】，整理得，解得或（舍去），或，又点P是的重心，整理得当时，得，此时，解得；当时，得，此时，解得，故答案为
7、或12在中，角，所对的边分别是，若，则面积的最大值为_【答案】【解析】因为，所以，由正弦定理可得，因为，所以，由余弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，故答案为三、解答题13在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角的大小；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）角的对边分别为，且，由正弦定理得，（2），由正弦定理得，14的内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，又由正弦定理和余弦定理，可得，所以（2）由（1）知，因为是锐
8、角三角形，所以，可得，又由，可得，所以，所以，所以，可得，符合所以实数的取值范围是15如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分別安装一套监测设备，且满足，定义：四边形OACB及其内部区城为“直接监测覆盖区域”；OC的长为“最远直接监测距离”设（1）求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值；（2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，即，令，则， “直接监测覆盖区城”的面积的最大值（2）以点为坐标原点，以方向为轴正方向，以垂直于的正北方向为轴正方向，建立直角坐标系如图：则，设点，由题意有，即，解得， ，当，即时，取得最大值， ， 当时，使得“最远直接监测距离”最大为
