1、第6讲几何概型考纲解读1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一预测2021年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点3几何概型的概率公式P(A).1概念辨析(1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中
2、试验结果的个数是有限的()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)P(C)P(D)P(B)故选A.(2)在区间2,4上随机
3、地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m()A1 B2 C3 D4答案C解析区间2,4的长度为6，在2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则对应区间长度为5，由2,3的长度为5，得m3.(3)(2019福州四校联考)如图，在圆心角为90的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于30的概率是()A. B. C. D.答案A解析记事件T是“作射线OC，使得AOC和BOC都不小于30”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则AONBOMMON30，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)，故选A.(4)在棱长为2的正方体
4、ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_答案1解析正方体的体积为2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为r313，则点P到点O的距离大于1的概率为11.题型一与长度(角度)有关的几何概型1在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A. B. C. D.答案A解析不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.条件探究1将本例中的条件“1log1”改为“使函数y有意义”，则其概率为_答案解析由log(4x3)0得04
5、x31，即x，由几何概型的概率公式，得P.条件探究2将本例中的条件“1log1”改为“22x4”，则其概率为_答案解析由22x4得1x2，即x，由几何概型的概率公式，得P.2(2019东北三省三校联考)如图，在直角梯形ABCD中，ABC90，ABAD1，BC，在边AD上任取点E，连接BE交AC于点F，则AF的概率为_答案解析由题意，得ABC为直角三角形，由AB1，BC，得AC2.当AF时，CF，因为AFECFB，所以，即，所以AE，且点E的活动区域为线段AD，AD1.所以AF的概率为.3如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为_答案解析当A
6、MAC时，ACM为以A为顶点的等腰三角形，ACM67.5.当ACM67.5时，AMAC，所以AM小于AC的概率P.1与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A).(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 1(2019河南八市重点高中联盟模拟)函数f(x)x22x8(4x6)，在其定义域内任取一
7、点x0，使f(x0)0的概率是()A. B. C. D.答案C解析由题意，得f(x0)0，即x2x080，解得x0|2x04，所以由长度的几何概型可得概率为P.2如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为.答案解析因为在DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，区域为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.题型二与面积有关的几何概型角度1与随机模拟相关的几何概型1(2019
8、郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0x1,0y1，则实数对(x，y)在如图所示的阴影部分(不包括边界)，则能构成锐角三角形的概率为，解得.角度2与平面图形面积有关的问题2(2019晋冀鲁豫中原名校联考)1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲
9、尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE中(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.答案C解析在直角三角形EBC中，accos15，bcsin15，则P.角度3与线性规划有关的几何概型3(2019大庆模拟)设不等式组表示的平面区域为，在区域内任取一点P(x，y)，则P点的坐标满足不等式x2y22的概率为()A. B. C. D.答案A解析画出所表示的区域，易知A(2,2)，B(2，2)，所以AOB的面积为4，满足不等式x2y22的点，在区域内是一个以
10、原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为P.角度4与定积分有关的几何概型4(2019常德一中模拟)如图，在矩形OABC中的曲线分别是ysinx，ycosx的一部分，A，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为p1，取自非阴影部分的概率为p2，则()Ap1p2Cp1p2 D大小关系不能确定答案B解析根据题意，得阴影部分的面积的一半为(cosxsinx)dxsinxcosx1，于是此点取自阴影部分的概率为p12.又p21p1p2.1与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰
11、当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见举例说明1、2.2与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率见举例说明3.3与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率见举例说明4.1中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为2，现从大圆内随机取一点，则此点
12、取自阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案B解析因为函数y3sinx的图象与x轴交于点(6,0)和点(6,0)，则大圆的半径为6，所以S大圆36.又小圆的半径为2，故两个小圆的面积和为8，所以所求的概率为P.2如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析由题图可知S阴影S矩形ABCDx2dx14|4，则所求事件的概率P.3已知关于x的二次函数f(x)b2x2(a1)x1.(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现
13、的点数，求yf(x)恰有一个零点的概率；(2)若a，b1,6，求满足yf(x)有零点的概率解(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件共36个用A表示事件“yf(x)恰有一个零点”，即(a1)24b20，则a12b.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A).即事件“yf(x)恰有一个零点”的概率为.(2)用B表示事件“yf(x)有零点”，即a12b.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|1a6,1b6，构成事件B的区域为(a，b)|1a6,1b6，a2b10如图所示：所以所求的概率为P(B).即事件“yf(x)有零点”的概率为.题型三
14、与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A. B. C. D.答案C解析由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长、宽、高所作的长方体的对角线，即2r2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A).求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方
15、体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_答案解析过M作平面平面ABCD，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然M在平面上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等若此时四棱锥MABCD的体积等于.只要M在截面以下即可小于，当VMABCD时，即11h，解得h，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P.组基础关1在区间0,2上随机取一个数x，则事件“sinx”发生的概率为()A. B. C. D.答案C解析当x0,2时，由sinx得0x或x2，因此所求概率为P1.2(2019山东师范大学附中模拟)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样(如
16、图中阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A2 B3 C10 D15答案C解析设阴影部分的面积是S，由题意得，S10，选C.3(2019陕西南郑中学模拟)如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0,0)，A，B，C(0,1)，记线段OC，CB以及ysinx的图象围成的区域(图中阴影部分)为，若向矩形OABC内任意投一点M，则点M落在区域内的概率为()A. B. C. D1答案D解析易知题图中矩形空白处的面积Ssinxdx(cosx)1，故阴影部分的面积为1S1，由几何概型的概率计
17、算公式可得所求概率P1.4古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足0.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为()A. B.2 C. D.答案B解析设BC1，则BQPC，所以BCPQBQPC1，所以PQ2，所以所求概率P2.故选B.5已知区域(x，y)|xy6，x0，y0，区域E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向区域内随机投一点P，则点P落
18、在区域E内的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图，区域表示的平面区域为AOB的边界及其内部，区域E表示的平面区域为COD的边界及其内部，所以点P落在区域E内的概率为.故选D.6(2019青岛二中模拟)在区间2,2上随机取一个数b.若使直线yxb与圆x2y2a有交点的概率为，则a()A. B. C1 D2答案B解析由直线yxb与圆x2y2a有交点，得圆心到直线的距离d ，解得b，又b2,2，且直线yxb与圆x2y2a有交点的概率为，所以由几何概型的概率公式可知P，解得a.7如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_
19、答案解析设球的半径为R，则所求的概率为P.8(2020安徽马鞍山月考)如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且OPAP，延长OP交弧AB于点C，则AOC_；现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为_答案解析在AOP中，因为OPAP，所以sinAOC，所以AOC.向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为P.组能力关1已知P是ABC所在平面内的一点，且40，现向ABC内随机投掷一根针，则该针扎在PBC内的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，以PB，PC为邻边作平行四边形BPCD，连接PD交BC于点O，40，4，24，则2，点P到BC的距离是点A到BC距离的，SPBCSABC，因此向ABC内随机投掷一根针，则该针扎在PBC内的概率为.故选D.2已知区域A内的点满足不等式组在区域A内任取一点P(a，b)，则函数f(x)x22axb有零点的概率为()A. B. C. D.答案A解析如图，不等式组表示的可行域为ABC的内部及边界，易得其面积为6.若函数f(x)有零点，则4a24b0，即ba2，则满足ba2的点(a，b)在曲边四边形DOCB(阴影部分)内由得点D的坐标为(1,1)，则曲边四边形DOCB(阴影部分)的面积为x2dx114，故所求的概率为.
