1、第二课时共线向量与共面向量李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)问题以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？知识点一共线向量1空间两个向量共线的充要条件对于任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab2直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量1对于空间向量a，b，c，若ab且bc，是否可以得到ac?提示：不能若b0，则对任意向量a，c都有ab且bc.2怎样利用
2、向量共线证明A，B，C三点共线？提示：只需证明向量，(不唯一)共线即可1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若A，B，C三点共线，则与共线()(2)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上()答案：(1)(2)2已知非零空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A2a4b2，A，B，D三点共线知识点二共面向量1共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量
3、，叫做共面向量2向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系xy，则点P与点A，B，C是否共面？提示：共面由xy，可得xy，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(2)空间中任意三个向量一定是共面向量()(3)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使xy.()答案：(1)(2)(3)2若a与b不共线，
4、且mab，nab，pa，则()Am，n，p共线 Bm与p共线Cn与p共线 Dm，n，p共面解析：选D由于(ab)(ab)2a，即mn2p，即pmn，又知m与n不共线，所以m，n，p共面向量共线的判定及应用例1如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形证明E，H分别是AB，AD的中点，则()()，且|.又F不在直线EH上，四边形EFGH是梯形1要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线
5、2证明空间三点P，A，B共线的方法(1)(R)；(2)对空间任一点O，t(tR)；(3)对空间任一点O，xy(xy1) 跟踪训练1已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若mn，则mn_解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，即()，所以(1)，所以m1，n，所以mn1.答案：12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.，().2，2，(2).1，C1，O，M三点共线.空间向量共面问题例2(链接教科书第5页例1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD
6、1的中点，NAC，且ANNC2，求证：A1，B，N，M四点共面证明设a，b，c，则ba，M为的中点，ca，又ANNC2，(bc)，(bc)a(ba)，为共面向量又三向量有相同的起点A1，A1，B，N，M四点共面1解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有xy或xyz(xyz1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示2证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz(xyz1)；
7、(4)(或或) 跟踪训练1. 已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)因为()，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面(2)因为，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内解：(1)3.()()，向量，共面(2)由(1)知，向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C四点共面，即M在平面ABC内
8、1下列命题中正确的是()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C若两个非零空间向量与满足0，则D若ab，则存在唯一的实数，使ab解析：选CA中，若b0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，0，与共线，故正确；D中，若b0，a0，则不存在，使ab.2已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A，B，C，D四点共面证明：令xy，则e1e2x(2e18e2)y(3e13e2)(2x3y)e1(8x3y)e2.e1和e2不共线，解得，A，B，C，D四点共面
