1、广西南宁市第十九中学2020-2021学年高一数学12月月考试题（含解析）考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1、答题前，考生务必将姓名，座位号，班别和考号填写在试卷和答题卡上2、考生作答时，请在答题卡上作答，在本试题上作答无效一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中有且只有一项是符合题目要求的（温馨提示；请在答题卡上作答，在本试题上作答无效）1. 已知集合，则（ ）A. B. 1C. D. ，1【答案】A【解析】【分析】解方程求出集合、再进行交集运算即可求解.【详解】因为，所以，故选：A.2. 下列表示实数集合的是（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】A【解析】【分析】由五种常用数集的符号，可直接得出结果.【详解】表示实数集合的是.故选：A3. 下列函数中，偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；B选项，函数的定义域为，而，所以是非奇非偶函数；C选项，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；D选项，函数的定义域为，且，所以是偶函数.故选：D.4. 下列函数中，减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由基本初等函数的单调性，逐项判断，即可得出结果.【详解】A
3、选项，幂函数在是增函数；排除；B选项，对数函数在是减函数，符合题意；C选项，一次函数在上是增函数，排除；D选项，指数函数在上是增函数，排除.故选：B.5. 圆柱底面半径，母线，则圆柱的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的表面积公式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为圆柱底面半径，母线，所以圆柱的表面积是.故选：D.6. 已知函数是连续函数，根据下表，则函数零点可能在的区间是（ ）x01234y122.1A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】解：由表格可得：，即，根据零点存在性定理即可得函数零点可能在的区间
4、是.故选：B.7. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据函数有意义即可求解.【详解】解：，解得：，故的定义域是.故选：C.8. 如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t（)年,与树高y（米）之间的散点图请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合散点图，利用排除法逐一排除选项即得结果.【详解】由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意；选项A中，函数过点，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点
5、，符合题意.故选：D.9. 函数的零点个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】令可得，函数零点等价于函数与两个函数图象交点的个数，数形结合即可求解.【详解】由可得，函数的零点个数等价于函数与两个函数图象交点的个数，作出函数与两个函数图象如图所示：由图知：函数与两个函数图象有个交点，所以函数有个零点，故选：C.10. 棱长为2的正方体内有一个内切球，则球的表面积是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得正方体的棱长即为内切球的直径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】因为球为正方体的内切球，所以正方体即为内切球的直径，所以内切球的半径
6、为，所以内切球的表面积为：，故选：B.11. 函数的定义域为，则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性即可求解.【详解】在上单调递增，又当时，当时，故函数的值域为.故选：B.12. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性判断的范围，即可比较大小.【详解】因为在单调递增，所以，因为在在单调递减，所以，即，所以，故选：C.二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效）13. 已知函数，则_；【答案】5【解析】【分析】分别求出和，直接求和【详解
7、】，2+3=5.故答案：5【点睛】求分段函数函数值的方法步骤：（1）找到给定自变量所在的区间；（2）将自变量带入解析式求解.14. 如图所示，是三角形的直观图，则三角形的面积_；（请用数字填写）【答案】【解析】【分析】根据斜二测画法的法则以及原图形与直观图面积的关系，即可求解.【详解】解：由斜二测画法知：，故三角形的高，故，又.故答案为：.15. _；（请用数字填写）【答案】【解析】【分析】利用对数运算法则直接化简计算即可.【详解】.故答案为：.16. 函数的最小值是_【答案】【解析】【分析】先令，将原函数化为，根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】令，因为，所以，则，因为函数是开口向上，
8、对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，所以.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效）17. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增试判断函数在区间上的单调性，并用单调定义证明【答案】见解析【解析】【分析】利用函数单调性的定义即可证明.【详解】解：设，则，又在上单调递增，又为偶函数，即对任意的，都有，故在区间上单调递减.18. 计算下列各式：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂运算法则化简计算即可；（2）结合指数幂运算和对数运算法则化简计算即可.【详解】解：（1）；
9、（2）.19. 解下列不等式和方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性和定义域即可求解；（2）令将原方程转化为关于的一元二次方程，可求出的值，进而可得方程的解.【详解】（1）,因为在单调递增，所以，解得：，所以原不等式的解集为，（2）令，则原方程可化为，即，解得或，即或，所以或，所以原方程的解为或.20. 衡量病菌传播能力的一个重要指标叫做传播指数它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染传染病的人，会把疾病传染给多少个人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔
10、时间（单位：天）根据统计，某种通过唾液再由空气传染的传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为8天如果甲得了这种传染病，以甲为传染源（1）求经过3轮传播后，由甲引起的得病的总人数（不包括甲本人）；（2）如果经过人工干预，对聚集场所定期消毒灭菌通风换气杜绝食品垃圾特别是液体垃圾，同时不熬夜玩手游看网文，增强自身对病菌的免疫力通过这些得力措施，确诊病例增长率为1%，系列间隔为200天如果以每200天为一轮传染周期，那么3年内，甲最多传染人数是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算的值，再计算每一轮感染人数之和即可求解；（2）先计算的值，再利用等比数列求和
11、公式即可求解.【详解】（1）由题意可得，即一个患者平均会传染三个人，经过3轮传播后，由甲引起的得病的总人数为人，（2）由题意可得，以200天为一轮传染周期，则3年约为个周期，最多发生轮传播，所以甲最多传染人数是人.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：理解题意计算的值，建立等比数列模型计算每一轮传播感染的人数之和.21. 如图所示，每个最小方格的边长为1粗线部分是一个几何体的三视图（1）画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】（1）在棱长为的正方体中，由三视图直接还原出该几何体；（2）由（1）中图形，结合题中数据，根据三棱锥的表面积公式，即
12、可求出结果.【详解】（1）在棱长为的正方体中，还原该几何体如下：该几何体为三棱锥；（2）由（1）可得，该几何体的表面积为.22. 一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器（1）试把容器的容积V表示为x的函数；（2）x为何值时，直角三角形（点F是的中点）的面积有最大值，最大值是多少？【答案】（1）；（2）当时，直角三角形的面积最大为.【解析】【分析】（1）由题可得底面四边形是边长为的正方形，在中，利用勾股定理求出四棱锥的高，再利用椎体的体积公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式求出面积，再利用换元法求最值.【详解】（1）由题意可得，在中，所以容器的容积，（2）由（1）知：，所以直角三角形的面积，令 令，为开口向下的抛物线，对称轴为，所以当即时，所以的最大值为，所以当时，以直角三角形的面积最大为.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出正四棱锥中底面正方形的边长以及四棱锥的高，在求最值时采用换元法.
