1、2017届高三毕业班摸底联考理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】或，则 ，故选C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 设是虚数单
2、位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】C【解析】，又复数的实部与虚部是互为相反数，故选C3. 若，则（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】由已知，又，所以2+m=1-m,即,故选D4. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由得，则，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A. 60 B. 160 C. 180 D. 240【答案】D【解析】二项式的通项公式为 ，令，所以含的项的系数是 ，故选D6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”
3、的否命题为“若，则”B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 若“或”为真命题，则至少有一个真命题【答案】D【解析】命题“若，则”的否命题为“若，则”所以A错误；命题“，”的否定是“，” 所以B错误命题“若，则”正确，则它的逆否命题为真命题，所以C错误,故选D7. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A【解析】由题意，得，即，解得，则直线的倾斜角为或，故选A.8. 若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如下图所示，则此几何体的表面积是（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】C【解析】试题分析：圆柱的侧面积为，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以几何体的表面积为，故选C.考点：由三视图求表面积.9. 执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知：算法的功能是求的值，跳出循环的值为，判断框的条件为即故选：B考点：程序框图.10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的
5、直线上，延长交球面于一点，连接，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，所以，所以，所以故选A考点：球的表面积和体积.11. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）A. 在直线上 B. 在直线上C. 在直线上 D. 在直线上【答案】B【解析】试题分析：，所以，故在直线上故选：B考点：导数的运算.【方法点晴】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐
6、条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于，即可得到拐点，问题得以解决12. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为，由，代入椭圆方程可得，可设，由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由，即有，解得故选：A考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题在该题中，可设，代入椭圆方程，求
7、得的坐标，设出，由，可得，运用向量的坐标运算可得，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若满足，则的最小值为_【答案】【解析】做出不等式组对应的可行域如图所示，作出直线 ,平移直线，当经过 时，目标函数值最小，最小值为点晴：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14. 在上随机取一个实数，能使函数在上有零点的
8、概率为_【答案】【解析】试题分析：若有零点，则，解得或，则函数有零点的概率，故答案为考点：几何概型.15. 函数（）的部分图象如下图所示，则的图象可由函数的图象至少向右平移_个单位得到【答案】【解析】试题分析：由图可知，故则，故，将点代入解析式得，即结合得，即，故向右平移个单位得到，故答案为.考点：（1）由得部分图象求其解析式；（2）三角函数图象的变换.16. 已知中，角成等差数列，且的面积为，则边的最小值是_【答案】2【解析】试题分析：成等差数列，又，由得，及，解得：，的最小值为故答案为：考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形
9、面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式即可解得边的最小值三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）设，求使对任意恒成立的实数的取值范围.【答案】（）.（）.【解析】试题分析：（1）首先利用递推关系式得出，由得其通项公式；（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围试题解析：（1）因为，所以所以当时，又，满足上式，所
10、以数列的通项公式（2）由对任意恒成立，即使对恒成立设，则当或时，取得最小值为，所以.考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.18. 质检部门从企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为.（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望.【答案】（）0.05.（）见解析试题解析： （）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和.依题意得 .解得.所以区间内的频率为0.05.（）从该企业生产的该
11、种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验.所以服从二项分布，其中.由（）得，区间内的频率为.将频率视为概率得.因为的所有可能取值为0,1,2,3.且；.所以的分布列为：所以的数学期望为 .（或直接根据二项分布的均值公式得到）点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注
12、意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，且，是边长为的正三角形，且平面平面，已知点是的中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析（）.【解析】试题分析：（1）连结交于，连结利用三角形中位线与底边平行得，运用线面平行判定定理可得结果；（2）取的中点，连
13、结，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量根据得结果.试题解析：（1）连结交于，连结，因为为菱形，所以，由直线不在平面内，平面，所以平面.（2）取的中点，连结，则，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，即，又，设直线与所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）直线与平面所成的角.【方法点睛】本题主要考查了利用线面平行判定定理判定线面平行以及利用向量法求直线与平面所成的角，属于基础题；常见的证明线面平行方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等，在该题中利用（1），向量
14、法在立体几何中的应用相当广泛，在该题中考查了在直线与平面所成的角中的应用即直线与平面所成角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值.20. 已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且.（）求证：点共线；（）若，当时，求动点的轨迹方程.【答案】（）见解析（）.【解析】试题分析：（1）利用，可得，根据 ，即可证明；（2）由题意知，点Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，即可求点Q的轨迹方程试题解析：（）设，（，），则，因为，所以.又，所以.因为，.且 ，所以.又，都过点，所以三点共线.（）由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，.所
15、以设动点，则，.又，所以，即.动点的轨迹方程为.21. 已知函数.（）求函数的单调区间；（）证明当时，关于的不等式恒成立；（）若正实数满足，证明.【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】试题分析：（1）求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化；（3）将代数式放缩，构造关于的一元二次不等式，解不等式即可试题解析：（） ，由，得，又，所以.所以的单调减区间为，函数的增区间是.（）令 ，所以 .因为，所以.令，得.所以当，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为 .令，因为，又因为在是减函数.所以当时，即对于任意正数总有.所以
16、关于的不等式恒成立.（）由，即 ，从而 .令，则由得，.可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，所以，又，因此成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（）若曲线与曲线交于两点，求的最大值和最小值.【答案】（）见解析（）.【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）由题意知曲线是过点的直线，结合图形可知，当直线过圆心时，弦长最长，当AB为过点且与垂直时，弦长最短.试题解析：（）对于曲线有，即，因此曲线的直角坐标方程为.其表示一个以为圆心，半径为2的圆；（）曲线是过点的直线，由知点在曲线内，所以当直线过圆心时，的最大为4；当为过点且与垂直时，最小.，最小值为 .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（）若，解不等式；（）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）.（）或. 试题解析：（）当时，即.解得.（） ，若恒成立，只需，即或，解得或.
