1、第一节数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式 anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类1与函数的关系数列
2、是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是一群孤立的点2周期性若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期1(基础知识：数列的项)已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21 B33C152 D153答案：C2(基本能力：数列递推关系)在数列an中，a11，an1(n2)，则a4()A BC D答案：B3(基本能力：数列的前n项和)设Sn为数列an的前n项和，已知S40，a55，则S5为_答案：54(基本方法：数列的通项公式)数列1，的一个通项公式an_答案：5(基本方法：an与Sn的关系)已知数列an的前n项和S
3、nn21，则an_答案：题型一数列的项与通项公式1(判断数列的项)(1)已知数列，2，则2是这个数列的()A第6项 B第7项C第19项 D第11项解析：数列即，据此可得数列的通项公式为an，由2，解得n7，即2是这个数列的第7项答案：B(2)把3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).把这些三角形数由小到大排成一个数列3，6，10，15，21，.下列各数是该数列中的项的是_(填序号)2728293036解析：由于a2a13，a3a24，a4a35，猜得anan1n1，a6a57，a628，a7a6836，故选.答案：2(归纳通项公式)根据数
4、列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)，；(4)，1，；(5)0，1，0，1，.解析：(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5).(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，an(1)n.(4)将数列统一为，对于分子3，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为
5、bn2n1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.(5)an方法总结 Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解题型二已知递推关系求通项公式 典例剖析典例根据下列已知条件，求数列an的通项公式：累加法：(1)a12，an1anln ；累乘法：(2)a1，anan1(n2)；构造法：(3)a11，an12an3；构造法：(4)a
6、1，an1an；取倒数：(5)a11，an；取对数：(6)a13，an1a.解析：(1)因为an1anln ，所以an1anln (n1)，所以anan1ln (n2)，所以an1an2ln ，a2a1ln (n2)，所以ana1ln ln ln ln n(n2)，所以anln na1(n2)，又a12，所以anln n2.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3，故递推公式为an132(an3
7、).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，所以bn42n12n1，即an2n13.(4)在an1an两边分别乘2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13(bn3)，所以数列bn3是首项为b1323，公比为的等比数列，所以bn3，即bn32，于是an32.(5)取倒数，得3，是等差数列，3(n1)13(n1)an.(6)由题意知an0，将an1a两边取常用对数得到lg an12lg an，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列，所以lg an(lg 3)2n1，所以
8、an.方法总结由递推关系求通项公式的方法方法转化过程适合题型累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1anf(n)(f(n)可求和)累乘法f(n)(f(n)可求积)构造法由an1panq化为an1mp(anm)，构造anm为等比数列an1panq辅助数列法由an1panqn化为，放入辅助数列bn，bn1bn，再构造数列an1panrqn取倒数法an取倒数得，令bnan取对数对anpa化为lg anr lg an1lg p，令bnlg ananpa(n2，p0)对点训练1设数列an中，a12，an1ann1，则an_解析：由条件知an1ann1，则当n2时，an(a2a1)(a3
9、a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2(经检验，n1时也符合).答案：2若a11，an1an2n，则an_解析：an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，ann(n1为偶数)，ann.综上所述，an(nN*).答案：(nN*)题型三Sn与an的关系的应用典例剖析类型 1已知Sn公式研究数列例1(1)已知数列an的前n项和Sn2n1，则a2a6_，an_解析：a2S2S1(221)(211)2，a6S6S5(261)(251)2532，a2a664.当n1时
10、，S1a11，当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1，也适合a11，an2n1.答案：642n1(2)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_解析：当n1时，a12.当n2时，a12a23a3(n1)an12n1，a12a23a3(n1)an1nan2n，得nan2n2n12n1，an，an答案：类型 2已知Sn与an的关系研究数列例2(1)(2021广东江门模拟)记数列an的前n项和为Sn，若nN*，2Snan1，则a2 020_解析：2Snan1，2Sn1an11(n2)，2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，又2S12a1a11
11、，a11，a2 020a2a11.答案：1(2)数列an的前n项和为Sn，且a13，an2Sn13n(n2)，则该数列的通项公式为an_解析：an2Sn13n(n2)，an12Sn23n1(n3)，相减得anan12an123n1，即an3an123n1，(n3)，又a22S1322a13215，即，数列是以1为首项，为公差的等差数列，1(n1)，an(2n1)3n1.答案：(2n1)3n1方法总结1已知数列an的前n项和Sn求an，主要有三步(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的解析式(3)注意检验n1时的解
12、析式是否可以与n2的解析式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解题组突破1(2021广东化州模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_解析：由log2(Sn1)n1，得Sn12n1，当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为an答案：an2若数列an的前n项和为Sn，首项a10且2Snaan(nN*)，求数列an的通项公式解析：当n
13、1时，2S1aa1，则a11；当n2时，anSnSn1，即(anan1)(anan11)0anan1或anan11，an(1)n1或ann.题型四数列的性质 典例剖析类型 1数列的单调性例1(1)已知an，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列解析：an1，由于f(x)1在(0，)上为增函数，an为递增数列答案：B(2)已知f(x)的定义域为R，数列an(nN*)满足anf(n)，且an是递增数列，则a的取值范围是()A(1，) BC(1，3) D(3，)解析：由于an是递增数列，a1，且f(2)f(1)，即a22a3，解得a1或a3，a3.答案：D类型 2数列的周期例2
14、(1)已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN*)，则a2 020的值为()A2 B1C D解析：由已知得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是周期为6的数列，所以a2 020a41.答案：B(2)(2021江西宜春期末测试)已知函数f(x)若数列an满足a1，an1f(an)(nN*)，则a2 022()A BC D解析：由题意，知a2f，a3f，a4f，a5f，a6f，a7f，故数列an从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a2 022a3.答案：D类型
15、3数列的最值例3(1)已知数列an满足2，a120，则的最小值为()A4 B41C8 D9解析：由an1an2n知，a2a121，a3a222，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann2n20，n2，当n1时，a120符合上式，所以ann2n20，nN*，所以n1，nN*，所以当n4时，单调递减，当n5时，单调递增因为，所以的最小值为8.答案：C(2)已知数列cn，cn，则当n_时，cn最大解析：设cn为最大，则即n，nN*，n5，答案：5方法总结1解决数列的单调性问题可用以下三种方法：(1)作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是
16、常数列；(2)作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断；(3)结合相应函数的图象直观判断2解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式anTan将所求项转化为下标较小的项，从而求得该项的值3求数列的最大项、最小项的常见方法：(1)利用“两边夹”思想：设an为数列an中的最大项，则有(n2).解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项(2)利用函数思想：根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项题组突破1在数列an中，a1
17、，an1(n2，nN*)，则a2 020的值为()A B5C D解析：在数列an中，a1，an1(n2，nN*)，所以a215，a31，a41，所以an是以3为周期的周期数列，所以a2 020a67331a1.答案：A2在数列an中，an(nN*)，则该数列的最大项为_；最小项为_解析：an1，可知当n50时，数列an是递增数列；当n50时，数列an也是递增数列对比函数y1的图象(图略)可知，当n49时，数列an取得最大值，最大值为11；当n51时，数列an取得最小值，最小值为9.答案：119(2018高考全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_解析：Sn2an1，当n2时，
18、Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1，当n1时，a1S12a11，得a11，数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，Sn12n，S612663.答案：63(2021江苏南京模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，则nSn的最小值为()A3 B5C6 D9解析：由Sm12，Sm0，Sm13(m2)可知am2，am13，设等差数列an的公差为d，则d1，Sm0，a1am2，则ann3，Sn，nSn.设f(x)，x0，f(x)x25x，x0，f(x)的极小值点为x.nN*，且f(3)9，f(4)8，f(n)min9，即nSn的最小值为9.答案：D
