1、第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的, 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义：如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)
2、M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值 1两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接2单调性的两种等价形式(1)设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数3函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一
3、定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值注意：f(x)的最大值记为f(x)max，f(x)的最小值记为f(x)min.1(基础知识：一次函数的单调性)函数y(2m1)xb在R上是减函数，则()Am BmCm Dm答案：B2(基本方法：判断单调区间)函数y的单调递减区间为()A(，1)(1，) B(，1)C(1，) D(，1)和(1，)答案：D3(基本能力：判断单调性)下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：当x(0，)时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x
4、为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数答案：C4(基本应用：利用单调性求参数)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A BC D解析：当a0时，f(x)2x3，满足当a0时，若f(x)在(，4)上单调递增，则解得a0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；解不等式f(x)0时，f(x)在(，1)，(1，)上为减函数；当a0恒成立，f(x)在(0，)上为增函数，增区间为(0，).法二：设y1ln x，y2x，在定义域(0，)上都为增函数，f(x)y1y2在(0，)上为增函数答案：(0，)2(母题变式)若
5、例1(1)中函数改为：f(x)|x22x1|，则函数f(x)的单调递减区间为_解析：作出函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，单调递减区间为(，1)和(1，1).答案：(，1)和(1，1)3(母题变式)若例1(2)改为：函数f(x)lg x2的单调递减区间是_解析：法一：设tx2，ylg t.当x0时，tx2在(0，)上为增函数，ylg t为增函数，f(x)lg x2在(0，)上为增函数；当xF(g(x)型的不等式其实质就是利用单调性脱去“F”符号，其关键点为：(1)判断，判断f(x)、g(x)是否在F(x)的同一个单调区间内；(2)脱“F”，利用单调性脱去“F”：若F(x)为增，则得
6、到f(x)g(x)，若F(x)为减，则得到f(x)g(x)(f(x)g(x)；(4)结论，解得的x与定义域求交集类型 3利用单调性求参数例3已知函数f(x)x(x0，aR).若函数f(x)在(，2上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：设x1x22，则yf(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为x1x20，所以要使y0恒成立，即ax1x2恒成立因为x14，所以a4，故函数f(x)在(，2上单调递增时，实数a的取值范围是(，4.答案：(，4方法总结利用单调性求参数(1)依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；(2)需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区
7、间的任意子集上也是单调的；(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值题组突破1已知函数f(x)log2x.若x1(1，2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：因为函数ylog2x与函数y的单调性在(1，)上均为增函数，所以函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1，2)时，f(x1)f(2)0；当x2(2，)时，f(x2)f(2)0，即f(x1)0，f(x2)0.答案：B2已知函数f(x)为定义在0，1上的单调递减函数若f(x2)f，
8、则x的取值范围是()A1，1 B1，1C2，1 D，1解析：因为函数f(x)为定义在0，1上的单调递减函数且f(x2)f，所以1x2x20，所以所以1x1.答案：B3已知函数f(x)(a0，且a1)是(，)上的减函数，则a的取值范围是()A BC(2，3) D解析：由f(x)是(，)上的减函数，可得化简得0a.答案：A题型三求函数的最值 1(2021江西上饶模拟)函数f(x)x在上的最大值是()A B C2 D2解析：法一：易知yx，y在上单调递减，函数f(x)在上单调递减，f(x)maxf(2).法二：f(x)x，f(x)10，f(x)在上为减函数，f(x)maxf(2).答案：A2(202
9、1河南郑州测试)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数例如：2.13，3.13.已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为()A B(0，2C0，1，2 D0，1，2，3解析：因为f(x)，因为2x10，所以01，所以3，即f(x)3，所以yf(x)的值域为0，1，2答案：C3(2020湖南怀化质检)定义maxa，b，c为a，b，c中的最大值，设Mmax2x，2x3，6x，则M的最小值是()A2 B3 C4 D6解析：画出函数M2x，2x3，6x的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小
10、值22624，故M的最小值为4.答案：C4设函数f(x)的最小值为1，则实数a的取值范围是()A2，) B(2，)C D解析：当x时，f(x)4x3231，当x时，f(x)取得最小值1；当x时，f(x)x22xa(x1)2a1，即有f(x)在上单调递减，则有f(x)fa，由题意可得a1，解得a.答案：C方法总结 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)分离常数法：形如求y(ac0)的函数的值域或最值常用分
11、离常数法求解(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 1(2019高考全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()Aff(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34).又因为log341220，且函数f(x)在(0，)单调递减，所以f(log34)f(2)f(2).答案：C2(2019高考全国卷)函数f(x)sin 3cos x的最小值为_解析：f(x)sin 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos
12、x1，令tcos x，则t1，1，f(x)2t23t1.又函数f(x)图象的对称轴t1，1，且开口向下，当t1时，f(x)有最小值4.答案：4 (2021山东潍坊期中测试)在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a，b)，若函数yf(x)满足“xa1，a1，都有yb1，b1”，则称这个函数是点A的“界函数”已知点B(m，n)在函数yx2的图象上若函数yx2是点B的“界函数”，则m的取值范围是_解析：函数yx2的图象开口向下，对称轴为y轴由于点B在函数yx2的图象上，所以nm2.依题意知xm1，m1，都有yn1，n1，即xm1，m1，都有ym21，m21.当m10，即m1时，函数yx2在m1，m1上单调递增，最小值为(m1)2，最大值为(m1)2，所以m21(m1)2(m1)2m21，此不等式在m1时无解；当m10m1，即1m1时，函数yx2在m1，m1上的最大值为0，最小值在区间m1，m1的端点处取得，故解得m；当m10，即m1时，函数yx2在m1，m1上单调递减，最小值为(m1)2，最大值为(m1)2，所以m21(m1)2(m1)2m21，此不等式在m1时无解综上所述，m的取值范围是.答案：
