1、第 15 讲 导数在函数中的应用【学习目标】了解函数的单调性及在某点取得极值的必要条件和充分条件与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值.【基础检测】1.函数 f(x)的定义域是开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 A【解析】设导函数 f(x)在(a，b)内的图像与 x 轴的交点(自左向右)分别为 x1，x2，x3，x4，其中 x1x2x300，x(x1，x2)时，f(x)0且 f(x2)0，所以 x2 是函数 f(x)的极小值点；当 x(x
2、2，x3)或 x(x3，x4)时，f(x)0，故 x3 不是函数 f(x)的极值点；当 x(x3，x4)时，f(x)0，而当 x(x4，b)时，f(x)0，可得 x12，.3.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D【解析】结合图形可知：当 x0，而 1x0，所以此时 f(x)0；当2x1，y0，
3、所以此时 f(x)0；当 1x0，而 1x0，所以此时 f(x)2 时，y0，而 1x0，则函数 f(x)图像如下图：易知：函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2).4.已知 f(x)3sin x x，对任意的 x0，2，给出以下四个结论：f(x)0；f(x)0；f(x)0.其中正确的是()A.B.C.D.D【解析】由已知 f(x)(3sin xx)3cos x，因为 x0，2，所以 cos x(0，1)，所以 f(x)0，所以 f(x)在 x0，2 上是减函数，所以 f(x)f(0)0；故正确；故选 D.5.若函数 f(x)x212ln x1 在其定义域内的一个子区间(k1，k1)
4、内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是()A.1，)B.1，32C.1，2)D.32，2B【解析】函数的定义域为(0，)，所以 k10即 k1，f(x)2x 12x4x212x.令 f(x)0，得 x12或 x12(不在定义域内，舍)，由于函数在区间(k1，k1)内不是单调函数，所以12(k1，k1)，即 k112k1，解得12k32，综上得 1k0，g(x)1e2.【解析】(1)f(x)1xlnxkex，由已知，f(1)1ke0，k1.(2)由(1)知，f(x)1xlnx1ex.设 k(x)1xlnx1，则 k(x)1x21x0，即 k(x)在(0，)上是减函数，由 k(1)0 知，当 0
5、 x0，从而 f(x)0，当 x1 时，k(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)(3)由(2)可知，当 x1 时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明 g(x)1e2 在 0 x1 时成立 当 0 x0，g(x)（1x）（1xln xx）ex.设 F(x)1xlnxx，x(0，1)，则 F(x)(lnx2)，当 x(0，e2)时，F(x)0，当 x(e2，1)时，F(x)0，所以当 xe2 时，F(x)取得最大值 F(e2)1e2.所以 F(x)1e2.设 G(x)x1ex，则 G(x)ex（x1）exe2xxex.当 x(0，1)时
6、，G(x)0，G(x)在(0，1)上单调递减 G(1)G(x)G(0)，即2eG(x)1.g(x)0，g(x)0 或 f(x)0，令 f(x)0 得到 x11a，x2a，当 x 变化时，f(x)和 f(x)的变化情况如下表 x1a1a，aa(a，)f(x)00 f(x)极小值极大值 1,a 所以 f(x)在区间，1a，(a，)内为减函数，在区间1a，a 内为增函数，f(x)在 x11a处取得极小值 f1a a2，在 x2a处取得极大值 f(a)1；当 a0 时，f(x)的减区间为，1a，(a，)，增区间为1a，a，极小值 f1a a2，极大值f(a)1；当 a0 时，f(x)的减区间为a，1a
7、，增区间为1a，(，a)，极小值 f1a a2，极大值f(a)1.【点评】利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定定义域；(2)求导函数 f(x)；(3)若求极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检验 f(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况，从而求解.三、利用导数研究函数的最值例 3 已知函数 f(x)ln xax 在 x2 处的切线 l与直线 x2y30 平行.(1)求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程 f(x)m2xx2 在12，2 上恰有两个不相等的实数根
8、，求实数 m 的取值范围；(3)记函数 g(x)f(x)12x2bx，设 x1，x2(x10)，则h(x)2x 3 1x 2x23x1x（2x1）（x1）x，令 h(x)0，得 x112，x21，列表得：x1212，11(1，2)2 h(x)00 h(x)极大值极小值m2ln 2 当 x1 时，h(x)的极小值为 h(1)m2，又 h12 m54ln 2，h(2)m2ln 2，方程 f(x)m2xx2 在12，2 上恰有两个不相等的实数根，h12 0，h（1）0，h（2）0，即m54ln 20，m20，m2ln 20，解得：54ln 2m2；(3)解法(一)g(x)ln x12x2(b1)x，
9、g(x)1xx(b1)x2（b1）x1x，x1x2b1，x1x21，g(x1)g(x2)lnx1x212(x21x22)(b1)(x1x2)ln x1x2 12(b 1)(x1 x2)ln x1x2 12（x1x2）（x1x2）x1x2lnx1x212x1x2x2x1.0 x1x2，设 tx1x2，则 0t1，令 G(t)ln t12t1t，0t1，则 G(t)1t1211t2（t1）22t20，G(t)在(0，1)上单调递减；b32，(b1)2254，(b1)2(x1x2)2x212x1x2x22x1x2x1x22x2x1t1t2，t1t2254，4t217t40，0t14.当 t14时，G
10、(t)minG14 158 2ln 2，k158 2ln 2，kmax158 2ln 2.解法(二)g(x)ln x12x2(b1)x，g(x)1xx(b1)x2（b1）x1x，x1x2b1，x1x21，x2 1x1，b32，x1 1x1520 x1 1x1，解得：0 x112.g(x1)g(x2)lnx1x212(x21x22)(b1)(x1x2)2ln x112x21 1x21.设 F(x)2ln x12x2 1x2 0 x12，则 F(x)2xx 1x3（x21）2x30 时，f(x)2aaln2a.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2xax(x0).当 a0 时，f
11、(x)0，f(x)没有零点.当 a0 时，因为 e2x 单调递增，ax单调递增，所以 f(x)在(0，)上单调递增.又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0 时，f(x)存在唯一零点.(2)证明：由(1)可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为x0.当 x(0，x0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当 xx0 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).由于 2e2x0 ax00，所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a.故当 a0 时，f(x)2aaln2a.【点评】本题主要考查了导数、零点、函数的单调性
12、的应用、不等式等问题.在求函数的零点时要注意利用函数的单调性.1.函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示，那么 f(x)的图像最有可能的是()C【解析】数形结合可得在(，2)，(1，)上，f(x)0，f(x)是增函数，从而得出结论.2.已知函数 f(x)x3bx2cxd(b，c，d 为常数)，当 x(0，1)时取极大值，当 x(1，2)时取极小值，则b122(c3)2 的取值范围是()A.372，5 B.(5，5)C.374，25 D.(5，25)D【解析】因为函数 f(x)x3bx2cxd 的导数为 f(x)3x22bxc.又由于当 x(0，1)时取极大值，当 x(1，2)时 取 极
13、 小 值，所 以f（1）0，f（2）2，即2bc30，4bc120.因为b122(c3)2 表示点(b，c)到点12，3 的距离的平方.通过图形可得过点 A 最大，过点 B 最小，通过计算可得b122(c3)2 的取值范围为(5，25).故选 D.3.定义在0，2 上的函数 f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有 f(x)2f3B.f(1)f4D.3f6 f3D【解析】由 f(x)f(x)tan x，x0，2，f(x)f(x)tan xf(x)0，令 g(x)f（x）sin x，则可知 g(x)在0，2 上单调递增，由 g3 g4，g(1)g6，g4 g6，可知 A，B，C 错误，由 g3 g
14、6 可知 D 正确，故选 D.4.若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取极值，则 a_.【解析】fx 2xx1 x2ax1 2，f(x)在 x1 处取极值，f1 0，a3.35.函数 g(x)ax32(1a)x23ax(a0)在区间，a3 内单调递减，则 a 的取值范围是.，1【解析】g x 3ax241a x3a，g(x)在区间，a3 内单调递减，转化为，a3 为函数 g(x)单调递减区间的子集，导数在此区间 gx 0，结合二次函数的图像，即3a02a13aa3ga3 0，解得 a1.6.已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是.0，12【解析】f(x)
15、ln xaxx1xa ln x2ax1，a0 显然不合题意.假设直线 y2ax1 与曲线 yln x相切.设切点为(x0，ln x0)，则切线方程为 yln x0 1x0(xx0)，即 y 1x0 xln x01.又切线方程为 y2ax1，对比得 2a 1x0，1ln x01，解得a12，x01.故若要使直线 y2ax1 与曲线 yln x 相交于两个不同点，即函数 f(x)x(ln xax)有 2 个极值点，需满足 0a0，故当 x2，1)时，Fx 0；故 F(x)有最小值 F(1)1331e11e，故实数 a 的最小值为 11e.8.设函数 fx 13x3ax23a2x1a0.(1)求函数
16、 fx 的单调区间、极大值和极小值.(2)若 xa1，a2 时，恒有 fx 3a，求实数a 的取值范围.【解析】(1)fx x22ax3a2，令 fx x22ax3a20，得 xa 或 x3a，则当 x 变化时，fx 与 fx 的变化情况如下表：xa(a，3a)3a(3a，)fx00 fx递增53a31 递减9a31递增(,)a 可知：当 x，a 时，函数 fx 为增函数，当 x3a，时，函数 fx 也为增函数，当 xa，3a 时，函数 fx 为减函数，当 xa 时，fx 的极大值为53a31；当 x3a 时，fx 的极小值为9a31.(2)因为 fx x22ax3a2 的对称轴为 xa，且
17、其 图 象 的 开 口 向 上，所 以 f x 在 区 间a1，a2 上是增函数.则在区间a1，a2 上恒有 fx 3a 等价于fx 的最小值大于3a 成立.所以 fa1 a1 22aa1 3a24a213a.解得14a0，则 a 的取值范围是0，1.【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性求极值.利用导数判断函数的单调性，一般求导后令 f(x)0，解方程得到 f(x)的零点，分区间讨论 f(x)的符号，从而确定单调区间，解方程要易于解不等式.9.已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x，其中 a 为常数，且 a0.(1)当 a2 时，求 f(x)的单调区间；(2)若
18、 f(x)在 x1 处取得极值，且在0，e 的最大值为 1，求 a 的值.【解析】(1)f(x)ln x2x25x，f(x)1x4x5（4x1）（x1）x，令 f(x)0，得 x14或 1，则 x0，141414，11(1，)f(x)00 f(x)增极大值减极小值增 所以 f(x)在0，14，(1，)上单调递增，在14，1上单调递减.(2)f(x)2ax1 x1x，令 f(x)0，x11，x2 12a，因为 f(x)在 x1 处取得极值，所以 x2 12ax11，12a0，x2 12a0；()当 12a1 时，f(x)在0，12a 上单调递增，12a，1上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最
19、大值 1 可能在 x 12a或 xe 处取得，而 f12a ln 12aa12a2(2a1)12aln 12a 14a10，f(e)ln eae2(2a1)e1，a 1e2，()当 1 12ae 时，f(x)在区间(0，1)上单调递增；1，12a 上单调递减，12a，e 上单调递增，所以最大值1 可能在 x1 或 xe 处取得，而 f(1)ln 1a2a1 0，所以 f(e)ln eae2(2a1)e1，解得 a 1e2，与 1 12ae 矛盾；()当 12ae 时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值 1 可能在 x1 处取得，而 f(1)ln 1a2a1 0，矛盾，综上所述，a 1e2或 a2.
