1、四川省眉山市仁寿第二中学2021届高三数学上学期第四次诊断试题 文 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1已知集合，集合 ，则 （）A B C D 2. 若，则（ ）AB0C1D23记 为等差数列的前项和，已知 ，则（ ）A15B16C19D204己知 则a，b，c的大小关系为（）A B C D 5已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）A B C D6已知为偶函数，当 时，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（）A B C D 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面
2、体的外接球的表面积为（ ）A.7 B.8 C.9D.10 8在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（）A B C D 9已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（ ）ABC2D410.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（ ）ABCD11. 已知函数，其中 ，其图象关于直线 对称，对满足 的 ，有 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数的单调递减区间是（）A （
3、kZ）B（kZ）C（kZ）D（kZ）12. 函数 对任意的，都有 成立，则不等式的解集为（）AB C D 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 将一颗均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_.14. 若实数满足约束条件，则的最小值是_.15. 已知椭圆 的左焦点为 ，经过原点的直线与椭圆交于两点，若 ，且 ，则椭圆的离心率为 16. 已知点A，B，C，D在球O的表面上，且ABAC2，BC，若三棱锥ABCD的体积为 ，球心O恰好在棱AD上，则这个球的表面积为 三、解答题（本大题共6个题，共70分）17. （本小题满分12分） 已知是数列的前项和，且 （1
4、）求的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）设 （1）求的单调增区间；（2）在锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，求ABC面积的最大值19. 如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长为，E是PC的中点（1）求证：PA平面BDE；平面PAC平面BDE；（2）若COE30，求四棱锥PABCD的体积20. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为
5、y（%），得结果如表年月2018.102018.112018.122019.12019.22019.3x123456y111316152021（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下车型报废年限1年2年3年4年总计甲款10304020100乙款1
6、5403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据： 参考公式：相关系数 ,回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 , . 21.（本小题满分12分）已知函数 （）若 ，求函数 的单调区间；（）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分22【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
7、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）曲线上两点与点，求面积的最大值23【选修4-5不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值文科数学(参考答案)1.A 解：Ax|2x3，RAx|x2或x3，（RA）Bx|x33，+）2.D 解：因为，所以，所以，所以3. B 设等差数列an的公差为d，由S55，a610，可得：5a1d5，a1+5d10，解出即可得出。设等差数列an的公差为d，S55，a610，5a1d5，a1+5d10
8、，解得：a15，d3，则a85+7316. A解：，1ba，又，cba故选：A. .B解：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B. C解：f（x）为偶函数，当x0时，f（x）lnx3x，当x0时，可得f（x）f（x）ln（x）+3x，即有x0时，f（x）+3，则曲线yf（x）在点（13）处的切线斜率为312，得切线方程为y+32（x+1），令x0，可得y1；令y0，x则切线与两坐标轴围成图形的面积为1故选：C. C 由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥PABC，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，易知外接球的直径2R3，故S球4R29. 解：因为ABCD，即ECD
9、为所求，连接ED，则三角形CDE为直角三角形，不妨设AB2a，则DEa，EC3a，则sinECD，故选：B. C解：令，点在直线上，则，即，当且仅当，即时等号成立故选：C. D解：设，直线的方程为，将代入，消去可得，所以，因为，所以，所以，则，所以，所以，又，所以的面积故选：D. A解：已知函数f（x）sin（x+），其中0，（0，），其图象关于直线x对称，对满足|f（x1）f（x2）|2的x1，x2，有|x1x2|min，2再根据其图象关于直线x对称，可得2+k+，kZ，f（x）sin（2x+）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）sin（2x+）cos2x的图象令2k2x2
10、k+，求得 kxk+，则函数g（x）的单调递减区间是k，k+，kZ，故选：A12.D解：设h（x）f（x）x3，则h（x）f（x）3x20，h（x）在R上为增函数，h（1）f（1）132020，而f（x）x3+2020f（x）x3h（1），即h（x）h（1），x1故选：D二填空题13. 根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，共4个.出现向上的点数和为5的概率为.14. 解:由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示，联立，解得B（3,1），由目标函数zlnylnxln，而的最小值为，z的最小值是故答案为15. 解：取椭圆的右焦点F，连接QF，PF，由椭圆的对称性，可得四边形PF
11、QF为平行四边形，则|PF|QF|，FPFPFQ1809090，|PF|3|QF|，而|PF|+|PF|2a，所以|PF|，所以|PF|，在RTPFF中， ，解得：e ，故答案为：16. 解：如图，由题意可知球心O为AD的中点，由ABAC2，BC可得CAB为直角三角形，BC的中点M即为其外接圆圆心，OM平面CAB，且D到平面CAB的距离为2OM，VABCD，OM，在直角三角形OMB中，rOBOM2，16，故答案为16三、解答题（本大题共6个题，共70分）17解：（1）因为，所以. 相减得， 2分所以， 所以. 又，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即的通项公式为. 6分（2）由（
12、1）可得. 8分所以.12分18. 解：（1）f（x）cos2x2cos2（x+）+1cos2xcos2（x+）cos2xcos（2x+）cos2xcos2x+sin2xcos2x+sin2xsin（2x+），3分3分则由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的单调递增区间为k，k+，kZ3分6分（2）若f（）1，则sin（2+）sin（A+）1，A是锐角，A+，得A2分8分a1，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即1b2+c2bc2bcbcbc，bc1，当且仅当bc时取等号，2分10分则三角形的面积SbcsinA，即三角形面积的最大值为2分12分19. 【详解】解：（1）证
13、明：连接OE，如图所示O、E分别为AC、PC的中点，OEPAOE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE；3分3分PO平面ABCD，POBD，在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD平面PAC又BD平面BDE，平面PAC平面BDE；3分6分（2）若COE30，取OC中点F，连接EF由上可得OFOCACa，EFOFtan 30a，OP2EFaVPABCDa2aa36分12分20. 解：（1）由参考数据可得，接近1，y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；4分4分（2），y关于x的线性回归方程为2019年4月份代码x7，代入线性回归方程得，于是2019年4月份的市场占
14、有率预报值为23%；4分8分（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为X50005001000P0.10.30.40.2E（X）5000.1+00.3+5000.4+10000.2350（元）乙款单车的利润Y的分布列为Y3002007001200P0.150.40.350.1E（Y）3000.15+2000.4+7000.35+12000.1400（元）以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型4分12分21. 解：（）x0f（x）x+lnx+1，2分2分令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1；f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+），2分4分（）不
15、等式ax+lnx+1ex恒成立，等价于在（0，+）恒成立，令，2分6分令h（x）（x1）ex+lnx，x0，2分8分所以h（x）在（0，+）单调递增，而h（1）0，所以x（0，1）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）单调递减；x（1，+）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）单调递增；所以在x1处g（x）取得最小值g（1）e1所以ae1，即实数a的取值范围是a|ae14分12分（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分 22【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）解：（1）设的极坐标为（），的极坐标为（）1分由题设知，由，3分得，所以的极坐标方程（），因此的直角坐标方程为（）5分（2）依题意：，6分于是面积：分当时，取得最大值9分所以面积的最大值为10分23已知函数f（x）|x1|32x|（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为n，且2a+bn（a0，b0），求的最小值解：（1）由已知得f（x），当x3，与x1矛盾；当；当，综上所述，不等式的解集为，5分5分（2）由（1）可知，2a+bn（a0，b0），当且仅当，即时，“”成立故的最小值为185分10分