1、星期四(解析几何)2016年_月_日解析几何知识(命题意图：考查利用平面向量的数量积的坐标运算探求曲线的形状，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查学生的整理和计算能力.)设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a(mx，y1)，向量b(x，y1)，ab，动点M(x，y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB(O为坐标原点)，并求该圆的方程.解(1)因为ab，所以ab0，即(mx，y1)(x，y1)0，故mx2y210，即mx2y21.当m0时，该方程表示两条直线；当m1
2、时，该方程表示圆；当m0且m1时，该方程表示椭圆；当m0时，该方程表示双曲线.(2)当m时，轨迹E的方程为y21，设圆的方程为x2y2r2(0r1)，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以r，即t2r2(1k2).因为OAOB，所以x1x2y1y20，即x1x2(kx1t)(kx2t)0，整理得(1k2)x1x2kt(x1x2)t20.由方程组消去y得(14k2)x28ktx4t240.由根与系数的关系得代入式并整理得(1k2)t20，即5t244k2.结合式有5r24，r(0，1)，当切线斜率不存在时，x2y2也满足题意，故所求圆的方程为x2y2.
