1、第3章 图形的相似3.4相似三角形的判定与性质第5课时1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题（难点）学习目标 ACBA1C1B1问题1：ABC与A1B1C1相似吗？导入新课ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成比例.ABC A1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量，猜一猜D1A1C1B1ACBDABC A1B1C1,CD和C1D1分别是它们的高,你知道等于多少吗？21CBBC1111DCCD 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高的
2、比各是多少？讲授新课ABCABC合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比 ABC ABC，BB，解：如图，分别作出 ABC 和A B C 的高 AD 和 A D 则ADB=A D B=90.ABD A B D.ABCABCDDA DA BkADAB 由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比归纳总结 1.ABC A1B1C1，BD和B1D1是它们的中线，已知,B1D1=4cm，则BD=cm.23CAAC1162.ABC A1B1C1,AD和A1D1是对应角平分线，已知AD=8cm，A1D1=3cm,则 ABC与A1B1C1的对应高之比为.
3、8:3练一练 3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是m.PADBC241.5例1：如图，AD是ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.(1)AE是 ASR的高吗？为什么？(2)ASR与ABC相似吗？为什么？(3)求正方形PQRS的边长.SRQPEDCBA典例精析（1）AE是ASR的高吗？为什么？解：AE是ASR的高.理由：AD是ABC的高 ADC=90四边形PQRS是正方形SRBCAER=ADC=90 AE是ASR的
4、高.BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.SRQPEDCBABC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（2）ASR与ABC相似吗？为什么？解：ASR与ABC相似.理由:SRBC ASR=B,ARS=C ASR与ABC相似.SRQPEDCBA（3）求正方形PQRS的边长.是方程思想哦！解：ASR ABCAE、AD分别是ASR 和ABC对应边上的高设正方形PQRS的边长为 x cm,则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm解得：x=24正方形PQRS的边长为24cm.AESRADBC404060 xxSRQPEDCBA变式：如图，AD是ABC的高，点P，Q在B
5、C边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？SRQPEDCBA如图，AD是ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.设SP=xcm，则SR=2x cm得到：所以 x=2 2x=4S矩形PQRS=24=8cm210 x2x105SRQPEDCBA分析：情况一：SR=2SP设SR=xcm，则SP=2x cm得到：所以 x=2.5 2x=5S矩形PQRS=2.55=12.5cm2102xx105原来是分类思想呀！SRQPEDCBA分析：情况二：SP=2SR如图，AD是ABC的高，BC=5cm，AD=10cm问题：把上图
6、中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？图中ABC和ABC相似，AD、AD分别为对应边上的中线，BE、BE分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ABCDEABDCE相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 已知：ABCABC，相似比为k，求证：证明：ABCABC.B=B,又AD,AD分别为对应边的中线.ABDABD.ABBCCAkA BB CC A.ADkAD.kADAD ABBCA BB C.ABBDA BB DABDCEABCDE验证猜想1 由此得到：相似三角形对应的中线的比也等于相似比 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对
7、应边上的角平分中线的比等于相似比归纳总结 已知：ABCABC，相似比为k，即 求证：证明：ABCABC B=B,BAC=BAC又AD,AD分别为对应角的平方线 ABDABD.ABBCCAkA BB CC AABDCEABCDE验证猜想2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 归纳总结 例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有解得x18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.6,4214x 3两
8、个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为_.当堂练习2.相似三角形对应边的比为23,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,则对应高的比为_,则对应中线的比为_.1221214141解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.AGBCDEFH4.已知ABCDEF，BG、EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.如图，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为E.当时，求DE的长.如果 呢？ASRABC(两角分别相等的两个三
9、角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.ACBD(1)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 课堂小结相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比