1、优培4 恒成立问题1、分离参数法例1：对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】对任意实数，不等式恒成立，恒成立，等价于，因为，所以，当时，等号成立，所以，故所求出实数的取值范围是，故选A2、主参换位法例2：若不等式对任意恒成立。求实数的取值范围是 【答案】【解析】可转化为，设，则是关于的一次型函数，要使恒成立，只需，解得3、数形结合法例3：若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为不等式对任意恒成立，所以，当时，由数形结合分析可知只需，得4、函数性质法例4：（2019全国理）已知函数的定义域为，且当时，若对任意的，都有，则
2、的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由当，且当时，可知当时，当时，当时，对任意的，都有有，解得的取值范围是一、选择题1对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】的最小值为，所以对任意实数恒成立只需，解得2已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意得，对一切，都成立，即在上恒成立，而，则实数的取值范围为3已知定义在上的函数为减函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由于定义在上的函数为减函数，所以，得对任意恒成立令()，则，所以在上为减函数，所以，则4已知定义在上的函数满足，且在上
3、是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，由的图象特征可得在上恒成立，得在上恒成立，所以5已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，则，在单调递减，在单调递增，又，对任意，即恒成立，令，则，在单调递减，故选A6设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，的最小值是；由知，当时，其最小值是；当时，其最小值是；要使，则，解得或，然后数形结合可知时，都有恒成立二、填空题7已知函数，对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_【答案】
4、【解析】函数为奇函数，即，又函数单调递增，对任意的，恒成立，8已知不等式对任意，恒成立，那么实数的取值范围为_【答案】【解析】如图，构造直线和曲线，分别在其上取点，原不等式即而的最小值，即点到直线距离的最小值，亦即曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，令，得，所以切点为，易知，由，得三、解答题9已知函数（1）已知函数在区间上的最小值为，求的值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数对称轴，当时，；当时，(舍)，（2）不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立，即，10已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线平行，所以，即，由且，得，即的单调递减区间是；由且，得，即的单调递增区间是（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立，即恒成立，令，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以时，函数有最小值，由恒成立，得，即实数的取值范围是
