1、2015年上海市静安、青浦、宝山区高考数学二模试卷（文科）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）已知抛物线y2=2px的准线方程是x=2，则p=4【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用抛物线y2=2px的准线方程是x=2，可得=2，即可求出p的值【解析】： 解：因为抛物线y2=2px的准线方程是x=2，所以=2，所以p=4故答案为：4【点评】： 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础2（4分）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此
2、扇形的弧长为5cm【考点】： 弧长公式【专题】： 三角函数的求值【分析】： 利用弧长公式即可得出【解析】： 解：此扇形的弧长=15=5cm故答案为：5【点评】： 本题考查了弧长公式的应用，属于基础题3（4分）复数（i为虚数单位）的模为5【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 根据复数的运算法则进行化简即可【解析】： 解：=43i，则|43i|=，故答案为：5【点评】： 本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键4（4分）函数y=2x+的值域为1，+）【考点】： 函数的值域【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由题意知2x1
3、0，从而得2x+1【解析】： 解：由题意，2x10，故2x+1；即函数y=2x+的值域为1，+）；故答案为：1，+）【点评】： 本题考查了函数的值域的求法，属于基础题5（4分）若=，则x+y=2【考点】： 矩阵与矩阵的乘法的意义【专题】： 矩阵和变换【分析】： 根据矩阵的乘法运算计算即可【解析】： 解：=，解得，故答案为：2【点评】： 本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的相等，注意解题方法的积累，属于基础题6（4分）在的展开式中，的系数是126【考点】： 二项式定理的应用【专题】： 计算题【分析】： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得的系数【解析】： 解：由于的展开式
4、的通项公式为 Tr+1=x9r（1）rx2r=（1）rx93r，令93r=3，解得r=4，故的系数是 =126，故答案为 126【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题7（4分）方程sinx=cosx的解集为【考点】： 三角函数的化简求值【专题】： 三角函数的求值【分析】： 转化方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解析】： 解：方程sinx=cosx化为：tanx=，解得，方程的解为：故答案为：【点评】： 本题考查三角方程的化简求值，特殊角的三角函数，考查计算能力8（4分）已知m1，0，1，n1，1，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1
5、=0恰好不经过第二象限的概率是【考点】： 古典概型及其概率计算公式【专题】： 概率与统计【分析】： 根据古典概型的概率公式求出相应事件的个数，即可得到结论【解析】： 解：由mx+ny+1=0得y=，要使直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限，则或者，即或，n=1，m=1或n=1，m=0共有2个结果m1，0，1，n1，1，m，n的选择共有32=6个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率P=，故答案为：【点评】： 本题主要考查古典概型的概率的计算，根据直线不经过第二象限，分别求出对应斜率和截距的关系是解决本题的关键，比较基础9（4分）圆x2+y24x+2y=0的圆心到直线3x+4y+3=0的
6、距离为1【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可【解析】： 解：圆x2+y24x+2y=0的圆心（2，1）到直线3x+4y+3=0距离为=1故答案为：1【点评】： 考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题10（4分）已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则M、N两点之间距离|MN|的最大值是【考点】： 简单线性规划的应用【专题】： 数形结合法；不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组所表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线
7、BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案【解析】： 解：作出不等式组所表示的平面区域，如图四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）M、N是区域内的两个不同的点运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|=故答案为：【点评】： 本题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题11（4分）把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小
8、金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆9.6公斤【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，根据体积相等建立等式关系，然后求出64个小球球面的总面积，从而求出所求【解析】： 解：设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，依题意得知：面积为4R2需要要用油漆2.4kg由=64，可得r=R64个小球球面的总面积为：644r2=4（4R2）42.4=9.6（kg）故答案为：9.6【点评】： 本题是基础题，考查球的体积的求法，考查计算能力，送分题12（4分）设是平面内两个不共线的向量，a0，b0若A，B，C三点共
9、线，则的最小值是4【考点】： 平面向量的基本定理及其意义；基本不等式【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据三点关系，建立条件关系，求出a，b的关系式，利用1的代换，结合基本不等式的应用进行求解即可【解析】： 解：a0，b0若A，B，C三点共线，设=x，即（a1）+=x（b2），是平面内两个不共线的向量，解得x=，a1=b，即a+b=1，则=（）（a+b）=1+1+2=2+2=4，当且仅当=，即b=2a，即a=，b=时，取等号，故最小值为4，故答案为：4；【点评】： 本题主要考查基本不等式的应用，根据向量关系求出a，b的关系，以及利用基本不等式是解决本题的关键13（4分）设等差数列an的前n
10、项和为An，等比数列bn的前n项和为Bn，若a3=b3，a4=b4，且，则数列bn的公比q=2【考点】： 等比数列的性质；等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 由题意a3=b3，a4=b4，所以=7，可得a1=d，即可求出数列bn的公比【解析】： 解：由题意，=，因为a3=b3，a4=b4，所以=7，所以a1=d，所以数列bn的公比q=2故答案为：2【点评】： 本题考查等差数列与等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础14（4分）已知：当x0时，不等式kx+b恒成立，当且仅当x=时取等号，则k=【考点】： 函数恒成立问题【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及
11、应用【分析】： 由题意可得=k+b，求出b，再对不等式化简整理，可得当x0时，不等式kx+b恒成立即为k（x），对x讨论，结合函数的单调性和恒成立思想即可得到k的值【解析】： 解：由题意可得，不等式kx+b，当且仅当x=时取等号，即有=k+b，即b=k则当x0时，不等式kx+b恒成立即为k（x），即有，当x时，k恒成立，y=在（，+）递增，即有y，即k；当0x时，k恒成立，y=在（0，）递增，即有y，即k由题意可得，k=故答案为：【点评】： 本题考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和函数的单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每
12、题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（） A =0 B 0 C =+ D 0【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据正六边形的性质以及向量的数量积进行判断解答【解析】： 解：因为ABCDEF是正六边形，所以AEFC，所以=0；故A正确；=|AE|AC|cos1200，故B错误；，故C错误；=|FB|FD|cos600，故D错误；故选：A【点评】： 本题考查了向量的数量积以及正六边形的性质运用；关键是明确正六边形中各边的向量关系16（5分）已知偶
13、函数f（x）的定义域为R，则下列函数中为奇函数的是（） A sinf（x） B xf（sinx） C f（x）f（sinx） D f（sinx）2【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由f（x）是偶函数，则f（x）=f（x）恒成立，因此f（sinx）=f（sinx）恒成立，然后利用奇函数定义对选项进行判断【解析】： 解：偶函数f（x），则f（x）=f（x）恒成立，令g（x）=sinf（x），sinf（x）=sinf（x），即g（x）=g（x），y=sinf（x）是偶函数，故A项不符合题意；令g（x）=xf（sinx），则g（x）=xf（sin（x）=xf（sinx
14、）=xf（sinx）=g（x），g（x）=xf（sinx）是奇函数故选B【点评】： 本题属容易题，直接考查奇函数、偶函数的定义17（5分）如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（） A 是循环变量初始化，循环就要开始 B 为循环体 C 是判断是否继续循环的终止条件 D 输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18【考点】： 循环结构；程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案【解析】： 解：这个程序框图中，是循环变量初始化，循环将要开
15、始，正确；为不满足条件n10时执行的语句，是循环体，故B正确；是判断是否继续循环的终止条件，正确；满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i10，退出循环故D错故选：D【点评】： 本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键18（5分）定义：最高次项的系数为1的多项式P（
16、x）=xn+an1xn1+a1x+a0（nN*）的其余系数ai（i=0，1，n1）均是整数，则方程P（x）=0的根叫代数整数下列各数不是代数整数的是（） A B C D +i【考点】： 函数的零点【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 对于B，C，D，直接构造方程即可【解析】： 解：直接构造方程即可：Bx=，构造方程：x23=0；Cx=，构造方程：x2x1=0；Dx=+i，构造方程：x2+x+1=0；故选A【点评】： 本题考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）如图，在正三棱柱
17、ABCA1B1C1中，已知AA1=6，三棱柱ABCA1B1C1的体积为18（1）求正三棱柱ABCA1B1C1的表面积；（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；异面直线及其所成的角【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）通过三棱柱的体积求出底面积，通过三角形的面积求出，然后求解三棱柱的表面积（2）说明BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角通过解三角形求解即可【解析】： 解：（1）因为三棱柱的体积为，AA1=6SABCAA1=18从而，因此（2分）该三棱柱的表面积为（4分）（2）由（1）可知因为CC1AA1所
18、以BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，（8分）在RtBC1C中，所以BC1C=异面直线BC1与AA1所成的角（12分）【点评】： 本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力20（14分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）f（x+），其中是常数（1）若f（x）=cosx+sinx，=，求g（x）的解析式，并写出g（x）的递增区间；（2）设f（x）=x，若g（x）1在上恒成立，求常数的取值范围【考点】： 函数恒成立问题；函数与方程的综合运用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： （1）由f（x）=cosx+sinx，求出f（x+），然后求解g（
19、x）的解析式得到递增区间即可（2）转化g（x）=x（x+）1，为，令，利用函数的单调性求解最值，得到a的范围【解析】： 解：（1）f（x）=cosx+sinx，f（x+）=cosxsinx；g（x）=cos2x（4分），由+2k2x2+2k，kZ，可得x，（kZ）递增区间为，（kZ）（注：开区间或半开区间均正确） （6分）（2）g（x）=x（x+）1，当时，（8分）令，则函数y=h（x）在上递减（10分）所以（12分）因而，当时，g（x）1在上恒成立（14分）【点评】： 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力21（14分）某公园有个池塘
20、，其形状为直角ABC，C=90，AB的长为2百米，BC的长为1百米（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得EFAB，EFED，在DEF内喂食，求当DEF的面积取最大值时EF的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，记FEC=，求DEF边长的最小值及此时的值（精确到1米和0.1度）【考点】： 正弦定理【专题】： 应用题；解三角形【分析】： （1）设EF=x，则可求CE，BE，DE，求得SDEF=x（1），x（0，2），由基本不等式可得：（1）（
21、）2当且仅当x=1时等号成立，从而可求当DEF的面积取最大值时EF的长；（2）设等边三角形边长为EF=ED=DF=y，在EBD中，由正弦定理及三角函数的性质可得y=0.65，即可求得DEF边长的最小值及此时的值【解析】： （本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题（6分），第（2）小题（8分）解：（1）设EF=x，则CE=，故BE=1，所以DE=（1），（2分）SDEF=x（1），x（0，2），（4分）因为SDEF=（1）（）2当且仅当x=1时等号成立，即（SDEF）max=（6分）（2）设等边三角形边长为EF=ED=DF=y，在EBD中，B=60，EDB=，（8分）由题意可知CE=ycos
22、，（9分）则EB=1ycos，所以，（11分）即y=0.65，（13分）此时tan=，40.9，49.1（14分）【点评】： 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质以及基本不等式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为=1，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不 重合的点（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若MO=2OA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为y=kx（k0），当AMB的面积为时，求直线AB的方程【考
23、点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）通过椭圆一个焦点和顶点求出双曲线a2，b2，然后求出方程（2）设M（x，y），A（m，n），利用MO=2OA，得到MA的方程，联立，结合点A（m，n）在椭圆C上，可求点M的轨迹方程（3）AB所在直线方程为y=kx（k0）与椭圆联立方程组，求出A坐标，M坐标，利用三角形的面积求出k，可得直线方程【解析】： 解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，（1分）所以在双曲线中，a2=7，c2=8，b2=c2a2=1，因而双曲线方程为（4分）（2）设M（x，y），A（m，n），则由题设知：，即（
24、5分）解得（7分）因为点A（m，n）在椭圆C上，所以，即，亦即所以点M的轨迹方程为（9分）（3）因为AB所在直线方程为y=kx（k0）解方程组得，所以，又解得，所以（11分）由于=（14分）解得即又k0，所以直线AB方程为或（16分）【点评】： 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用23（18分）设an是公比为q（q1）的等比数列，若an中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称an是封闭数列（1）若a1=2，q=3，判断an是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明an为封闭数列的充要条件是：存在整数m1，使a1=qm；（3）记n是数列an的前n项之积，bn
25、=log2n，若首项a1为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列an，使，若存在，求an的通项公式；若不存在，说明理由【考点】： 数列与函数的综合；数列的应用；数列的求和；数列的极限【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）an不是封闭数列，利用通项公式，对任意的m，nN*，有，通过anam=ap，推出矛盾得到结果（2）通过证明必要性，由条件推出，（充分性）若存在整数m1，使，推出an是封闭数列（3）利用数列的乘积推出，然后若a1=1，若a1=2，若a1=4，分别通过数列的极限，判断数列是否是封闭数列【解析】： 解：（1）an不是封闭数列，因为，（1分）对任意的m，nN*，有，
26、（2分）若存在p，使得anam=ap，即3pmn+1=2，pmn+1=log32，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾所以该数列不是封闭数列（4分）（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项as，at（st），若存在ak使asat=ak，则，解得故存在m=kst+1Z，使，（6分）下面证明整数m1对q1，若m1，则取p=m2，对a1，ap，存在au使a1ap=au，即qmqp1=qu1，q1=qu1，所以u=0，矛盾，故存在整数m1，使（8分）（充分性）若存在整数m1，使，则，对任意s，tN*，因为，所以an是封闭数列（10分）（3）由于，所以，（11分）因为an是封闭数列且a1为正整数，所以，存在整数m0，使，若a1=1，则，此时不存在所以没有意义（12分）若a1=2，则，所以，（13分）若a1=4，则，于是，所以，（16分）若a14，则，于是，所以，（17分）综上讨论可知：a1=4，该数列是封闭数列（18分）【点评】： 本题考查数列的综合应用，数列雨花石相结合，数列的极限的应用，考查分析问题解决问题的能力
