1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 古典概型 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和互斥基本事件基础诊断考点突破课堂总结2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件(2)每个基本事件出现的可能性只有有限个相等基础诊断考点突破课堂总结3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
2、 1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率P(A)mn.4古典概型的概率公式P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率为cardAcardI.()(4)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取
3、一袋，测其重量，属于古典概型()基础诊断考点突破课堂总结2(2014新课标全国卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38 C.58D.78解析 由题意知 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有 24 种情况，而 4 位同学都选周六有 1 种情况，4 位同学都选周日有 1 种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 P241124141678，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结3(2014陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概
4、率为()A.15 B.25 C.35 D.45解析 根据题意知，2 个点的距离小于该正方形边长的有 4对，故所求概率 P1 4C2535，故选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中，任取 2 个数字相加，其和为偶数的概率是_解析 从 6 个数中任取 2 个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)
5、，共 6 种，所以所求的概率是25.答案 25基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 3P127 例 3 改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6636 个可能的结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 P1 66656.答案 56基础诊断考点突破课堂总结考点一 基本事件与古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事
6、件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？基础诊断考点突破课堂总结解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型基础诊断考点突破课堂总结(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 111，而白球有 5 个，故一次摸球摸到白球的可能性为 511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等
7、，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型基础诊断考点突破课堂总结规律方法 古典概型需满足两个条件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)下列问题中是古典概型的是()A种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C在区间1,4上任取一数，求这个数大于1.5的概率D同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有_种结果基础诊断考点突破课堂总结解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限
8、多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果答案(1)D(2)8基础诊断考点突破课堂总结考点二 简单的古典概型的概率 【例2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中，甲校2男1女，乙校1男2女，(1)若从甲校和乙校报名教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率基础诊断考点突破课堂总结解(1)甲校两男教师分
9、别用 A，B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E，F 表示从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共 9 种从中选出 2 名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共 4 种故选出的 2 名教师性别相同的概率为 P49.基础诊断考点突破课堂总结(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F
10、)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种从中选出 2 名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6 种故选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P 61525.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数当基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举基础诊断考点突破课堂总结【训练2】某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2
11、)如下表所示：(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9基础诊断考点突破课堂总结解(1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共 6 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人身高都在 1.78 以下
12、的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 个因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为P3612.基础诊断考点突破课堂总结(2)从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 3 个因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23
13、.9)中的概率为 P 310.基础诊断考点突破课堂总结考点三 复杂的古典概型的概率 【例3】(2013陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率基础诊断考点突破课堂总结解(1)设观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手为事件A，则
14、 P(A)C12C34C23C35 415.(2)设 3 号歌手得到甲乙、甲丙、乙丙的投票分别记为事件 A1，A2，A3，得到甲乙丙的投票记为事件 B.则 P(A1)C12C24C34C23C35C35 425，P(A2)C12C34C24C23C35C35 425，P(A3)C22C24C24C23C35C35 325，P(B)C12C24C24C23C35C35 625.故所求概率 P(X2)P(A1)P(A2)P(A3)P(B)1725.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)复杂的古典概型问题一般会涉及到排列数或组合数的计算注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用(2)当情况较复杂时，
15、一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解当所求事件含有“至少”、“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式 P(A)1P(A)求解基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有 1人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球 2 次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率基础诊断考点突破课堂总结解(1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为 C2nn
16、n12，从袋中任取 2 个球的所有可能的结果数为C27762 21.由题意知，17nn1221nn142，n(n1)6，解得 n3(舍去 n2)，即袋中原有白球 3 个基础诊断考点突破课堂总结(2)设事件 A 为“取球 2 次即终止”取球 2 次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球，P(A)C14C13C17C16437627.(3)设事件 B 为“甲取到白球”，“第 i 次取到白球”为事件 Ai，i1,2,3,4,5，甲先取，甲只可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取白球，基础诊断考点突破课堂总结P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5)3743376543213
17、7654337 635 1352235.基础诊断考点突破课堂总结【训练4】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)求在一次游戏中，(1)摸出3个白球的概率；(2)获奖的概率基础诊断考点突破课堂总结解(1)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)C23C12C25C2315.(2)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3.又 P(A2)C23C22C25C23C1
18、3C12C25C2312，且 A2，A3 互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3)1215 710.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个2确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合基础诊断考点突破课堂总结易错防范1古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的2对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺次有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理
