1、32.2双曲线的简单几何性质新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质数学抽象、直观想象2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用直观想象、数学运算第一课时双曲线的简单几何性质凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性问题你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？知识点一双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或 xa，yya或 ya，x对称性
2、对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；实半轴长：，虚半轴长：离心率e(1，)渐近线yxyx知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为yx1椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？提示：不一样，椭圆的离心率0e1.2若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线yx的双曲线可设为(0，R)，当0时，焦点在x轴上，当0，b0)由题意知2b12，且c2a2
3、b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)e，ca，b2c2a2a2.又焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0)把点(5，3)代入方程，解得a216.双曲线的标准方程为1.(3)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当a，所以e2.答案：(2，)2过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去
4、)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案：21已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5，3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即1.2(2020全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线为yx，则C的离心率为_解析：由双曲线的一条渐近线为yx可知，即ba.在双曲线中，c2a2b2，所以c23a2，所以e.答案：3求双曲线4y29x24的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图解：将双曲线方程化成标准方程1，可知实半轴长a，虚半轴长b1.于是有c，所以焦点坐标为，离心率为e，渐近线方程为yx，即yx.为画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线yx，顶点，结合两渐近线可画出第一、四象限的曲线，再根据对称性可得该双曲线的草图，如图所示
