1、第8节最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,3,4范围问题1,5证明问题6,71.导学号 49612243椭圆C:+=1(ab0)的上顶点为B,过点B且互相垂直的动直线l1,l2与椭圆的另一个交点分别为P,Q,若当l1的斜率为2时,点P的坐标是(-,-).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线PQ与y轴相交于点M,设=,求实数的取值范围.解:(1)l1的斜率为2时,直线l1的方程为y=2x+b.由l1过点P(-,-),得-=-+b,即b=2.所以椭圆C的方程可化为+=1,由点P(-,-)在椭圆上,得+=1,解得a2=5.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,直线l1,l2
2、的斜率存在且不为0,设直线l1,l2的方程分别为y=kx+2,y=-x+2,由得(4+5k2)x2+20kx=0,即xP=-,同理,可得xQ=,由=,得=,所以=+.因为5k2+44,所以0b0)的左、右焦点,P是椭圆E上的点,且PF2x轴,=a2.直线l经过F1,与椭圆E交于A,B两点,F2与A,B两点构成ABF2.(1)求椭圆E的离心率;(2)设F1PF2的周长为2+,求ABF2的面积的最大值.解:(1)由题意可得F1(-c,0),F2(c,0),设点P在第一象限,令x=c,可得y=b=,则P(c,),=(-2c,-),=(0,-),可得=a2,则a2=4b2=4(a2-c2),可得3a2
3、=4c2,即c=a,即有离心率e=.(2)由(1)可得2c=a,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,F1PF2的周长为2a+2c=2+,解得a=1,c=,则b=,可得椭圆方程为x2+4y2=1,由题知直线斜率不为0,设直线方程为x=ty-,由得4(t2+4)y2-4ty-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),即有y1+y2=,y1y2=-,|y1-y2|=,则=c|y1-y2|=.“=”成立时t2=2,即t=,则ABF2的面积的最大值为.3.(2016内蒙古赤峰模拟)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(4,2)在椭圆上,且AF2与x轴垂直.(1)求椭圆
4、的方程;(2)过点F2作直线与椭圆交于B,C两点,求COB面积的最大值.解:(1)由A(4,2)在椭圆上,且AF2与x轴垂直,可得c=4,令x=4,代入椭圆方程可得y=b=,即有=2,又a2-b2=16,解得a=4,b=4,则椭圆方程为+=1.(2)点F2(4,0),由题意知BC斜率不为0,可设直线BC:x=ty+4,代入椭圆方程x2+2y2=32,可得(2+t2)y2+8ty-16=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),可得=64t2+64(2+t2)0,y1+y2=-,y1y2=-,|y1-y2|=,SOBC=|OF2|y1-y2|=4=16=1616=8,当且仅当=,即t=0时,CO
5、B面积的最大值为8.4.导学号 49612244已知F1(-1,0)和F2(1,0)是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,且点P(1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l:y=kx+m(m0)与椭圆C有且仅有一个公共点,且与x轴和y轴分别交于点M,N,当OMN面积取最小值时,求此时直线l的方程.解:(1)因为F1(-1,0)和F2(1,0)是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,且点P(1,)在椭圆C上,所以c=1,又2a=+=4,故a=2.所以b2=3.故所求椭圆C的方程为+=1.(2)由消y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知,=
6、64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,整理得m2=4k2+3.由条件可得k0,M(-,0),N(0,m).所以SOMN=|OM|ON|=|m|=. (*)将m2=4k2+3代入(*)式,得SOMN=(4|k|+).因为|k|0,所以SOMN=(4|k|+)2,当且仅当|k|=,即k=时等号成立,SOMN有最小值2.因为m2=4k2+3,所以m2=6,又m0,解得m=.故所求直线方程为y=x+或y=-x+.5.(2016石家庄二模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,|MA|=|MB|,且当直线l垂直于x轴时,|AB|=.(1)求椭
7、圆C的方程;(2)若,2,求弦长|AB|的取值范围.解:(1)由题意可得e=,即=,所以=,则a2=2b2, 把x=1代入+=1,得y=,则=, 联立得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)如图,当直线l的斜率存在时,设直线l方程为y=k(x-1),联立得(1+2k2)y2+2ky-k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=, 由|MA|=|MB|,得=,所以(1-x1,-y1)=(x2-1,y2),则-y1=y2, 由消去y1,y2得=+-2,当,2时,=+-20,.解得k2.|AB|=2=2(1-)=2(1-)(,.又由题知,直线l斜率不存
8、在时,|AB|=,所以弦长|AB|的取值范围为,.6.(2016郑州二模)设椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.解:(1)由e=,得=,即a=2c,所以b=c.由右焦点到直线+=1的距离为d=,得=,解得a=2,b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆+=1联立消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=-,x1x2
9、=.因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(k2+1)-+m2=0,整理得7m2=12(k2+1),所以O到直线AB的距离d=为定值.因为OAOB,所以OA2+OB2=AB22OAOB,当且仅当OA=OB时取“=”号.由dAB=OAOB得dAB=OAOB,所以AB2d=,即弦AB的长度的最小值是.7.(2016湖南衡阳一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为e=,其左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2.设点M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:+为定值,并求该定值.解:(1)根据题意,|F1F2|=2c=2,则c=,e=,则a=2,b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)根据题意,点M(x1,y1),N(x2,y2)与坐标原点的连线斜率之积为-,即=-,-4y1y2=x1x2,即(x1x2)2=16(y1y2)2,又由+=1,+=1,则1-=,1-=,即可得(1-)(1-)=(y1y2)2,变形可得(4-)(4-)=(x1x2)2,展开可得+=4,即+为定值4.
