1、第2讲函数的单调性与最值考纲解读1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值(重点)2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义(重点)3能够运用函数图象理解和研究函数的性质(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1.函数的单调性(1)增函数、减函数增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当
2、x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值1概念辨析(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)设任意x1，x2a，b且x1x2，
3、那么f(x)在a，b上是增函数0(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)若函数yf(x)，xD的最大值为M，最小值为m(Mm)，则此函数的值域为m，M()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案1,1，5,7解析由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7(2)函数y4xx23，x0,3的单调递增区间是_，最小值是_，最大值是_答案0,237解析因为y4xx23(x2)27，所以函数y4xx23，x0,3的单调递增区间是0,2当x2时，ymax7；当x
4、0时，ymin3.(3)函数f(x)(2a1)x3是R上的减函数，则a的取值范围是_答案解析因为函数f(x)(2a1)x3是R上的减函数，所以2a10，解得a.(4)函数f(x)(x2,5)的最大值与最小值之和等于_答案解析因为函数f(x)在2,5上单调递减，所以f(x)maxf(2)1，f(x)minf(5)，f(x)maxf(x)min.题型 一确定函数的单调性(区间) 1函数f(x)ln (x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)答案D解析由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22
5、x8在定义域内的单调递增区间函数tx22x8在(，2)上单调递减，在(4，)上单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(4，)2函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0 C0,2 D2，)答案A解析f(x)|x2|x作出此函数的图象如下观察图象可知，f(x)|x2|x的单调递减区间是1,2条件探究将本例中“f(x)|x2|x”改为“f(x)x22|x|”，则f(x)的单调递减区间是_，单调递增区间是_答案(，1和(0,1(1,0和(1，)解析f(x)x22|x|作出此函数的图象如右图，观察图象可知，此函数的单调递减区间是(，1和(0,1；单调递增区间是(1，0和(1，)3试讨
6、论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解解法一：设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增1确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：任取x1，x2D，且x10，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相
7、同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”如举例说明1. 1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)答案B解析因为函数f(x)ax1在R上递减，所以a0，1sinx1等)确定函数的值域如举例说明4可用此法(5)分离常数法：形如求y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解如举例说明4可用此法另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述 1(2019厦门质检)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值
8、为_答案3解析由于yx在R上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.2函数y的值域为_答案y|yR且y3解析y3，因为0，所以33，所以函数y的值域为y|yR且y33函数y|x1|x2|的值域为_答案3，)解析函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，)题型 三函数单调性的应用 角度1比较函数值的大小1(2019郑州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且函数f(x)在(，0)上是减函数，若af(1)，bf，cf(20.3)，则a，b，c的大小关系为()Acba
9、BacbCbca Dabc答案B解析函数f(x)满足f(x)f(x)，cf(20.3)f(20.3)120.32，120.32，即120.3log2.函数f(x)在(，0)上是减函数，f(1)f(20.3)f，即acb.角度2解不等式2已知函数f(x)则不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是()A(0，1) B(1，1)C(0，1) D(1，1)答案D解析作出函数f(x)的图象如图所示则不等式f(1x2)f(2x)等价于或解得1x1.角度3求参数的值或取值范围3已知函数f(x)对于任意x1x2都有0成立，则实数a的取值范围是()A(1,3 B(1,3) C(1,2 D(1,2)答案C解析
10、根据题意，由0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1a2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小如举例说明1.(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域如举例说明2.(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值如举例说明3. 1(2019广州模拟)已知函数f(x)在(，)上单调递减，且当x2,1时，f(x)x22x4，则关于x的不等式
11、f(x)1的解集为()A(，1) B(，3)C(1,3) D(1，)答案D解析因为f(1)1，所以f(x)1，等价于f(x)f(1)又函数f(x)在(，)上单调递减所以x1，所以关于x的不等式f(x)1的解集为(1，)2(2020贵阳市高三摸底)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案C解析y1，所以当a30时，y的单调递增区间是(，a2)，(a2，)；当a30时不符合题意又y在(1，)上单调递增，所以(1，)(a2，)，所以a21，即a3，综上知，a的取值范围是(，33已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为
12、()Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)1，clog20，所以cba.因为f(x)2x2x2xx在R上单调递增，所以f(c)f(b)x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，所以aff，且2ac.5(2020河南鹤壁高中月考)若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增答案B解析yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bx的对称轴方程x
13、1.7(2019广东茂名二联)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay在R上为减函数By|f(x)|在R上为增函数Cy2f(x)在R上为减函数Dyf(x)3在R上为增函数答案C解析A错误，比如f(x)x在R上为增函数，但y在R上不具有单调性；B错误，比如f(x)x在R上为增函数，但y|f(x)|x|在(0，)上为增函数，在(，0)上为减函数；D错误，比如f(x)x在R上为增函数，但yf(x)3x3在R上为减函数；C正确，由复合函数同增异减，得y2f(x)在R上为减函数故选C.8已知函数f(x)(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.答案解析由反比例函数的性质，知函数
14、f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.9已知函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，则正数a的取值范围是_答案(3，)解析函数f(x)ln xx的定义域为(0，)，且为单调递增函数，f(a2a)f(a3)同解于解得a3.所以正数a的取值范围是(3，)10已知函数f(x)(m1)在区间(0,1上是减函数，则实数m的取值范围是_答案(，0)(1,4解析由题意可得4mx0，x(0,1恒成立，所以mmin4.当00，解得1m4.当m0时，4mx单调递增，所以m10，解得m1，所以m3时，f(x)单调递增，且loga32，所以即解得a(1，3(2019郑州模拟)设函数f(x)g(x
15、)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_答案0,1)解析函数f(x)g(x)x2f(x1)，当x1时，即x10，g(x)x2；当x1时，x10，g(x)0；当x1时，x10，g(x)x2；g(x)画出函数g(x)的图象，如图所示根据图象得出，函数g(x)的单调递减区间是0,1)4(2020河北模拟调研)已知函数f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2,0上的值域是1,0，则实数a_；若函数g(x)axm3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_答案1，)解析函数f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2,0上的值域是1,0当a1时，f(x)loga(x1)在2,0上单调递减
16、，无解；当0a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解(1)证明：当a2时，f(x).设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，01时，f(x)x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(2)因为f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.所以f(x)在2,9上的最小值为2.
