1、第四章三角函数(基本初等函数()1.基本初等函数(三角函数)(1)任意角、弧度制了解任意角的概念和弧度制的概念能进行弧度与角度的互化(2)三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性理解正弦函数、余弦函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响会用三
2、角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型2三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)3解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题41弧度
3、制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角是第一象限角可表示为；是第二象限角可表示为_；是第三象限角可表示为_；是第四象限角可表示为_(3)非象限角如果角的终边在_上，就认为这个角不属于任何一个象限终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作|2k，kZ；终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_；终边在y轴非负半轴上的角的集合可
4、记作_；终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_；终边在x轴上的角的集合可记作_；终边在y轴上的角的集合可记作_；终边在坐标轴上的角的集合可记作_(4)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S_.2弧度制(1)把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度_，l是半径为r的圆的圆心角所对弧的长(2)弧度与角度的换算：360_rad，180_rad，1_rad0.01745rad，反过来1rad_57.305718.(3)若圆心角用弧度制表示，则弧长公式l_；扇形面积公式S扇_3任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意
5、一点P(x，y)与原点的距离为r(r0)，则sin_，cos_，tan_ (x0)(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sincostan(3)三角函数值在各象限的符号 sin cos tan4三角函数线如图，角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的_、_、_，统称为三角函数线5特殊角的三
6、角函数值角030456090120135150180270360角的弧度数sincostansin15，sin75，tan152-，tan752，由余角公式易求15，75的余弦值和余切值自查自纠1(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴或|2k-0；cos(-2 200)cos(-40)cos400；tan(-10)tan(3-10)0；0.故填.类型一角的概念若是第二象限角，试分别确定2，的终边所在位置解：因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)(1)因为1802k36023602k360(kZ)，故2的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上(2)因为45k18090k180(
7、kZ)，当k2n(nZ)时，45n36090n360，当k2n1(nZ)时，225n360270n360，所以的终边在第一或第三象限(3)因为30k12060k120(kZ)，当k3n(nZ)时，30n36060n360，当k3n1(nZ)时，150n360180n360，当k3n2(nZ)时，270n360300n360，所以的终边在第一或第二或第四象限【点拨】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难解此类题一般步骤为：写出的范围求出2，的范围分类讨论求出2，终边所在位置已知角2的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求的终边所在的象限解：依题意有2k22k(k
8、Z)，所以kk(kZ)当k0时，0，此时是第一象限角；当k1时，此时是第三象限角综上，对任意kZ，为第一或第三象限角故的终边在第一或第三象限类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB的圆心角AOB120，半径R6，求：(1)的长；(2)弓形ACB的面积解：(1)因为AOB120，R6，所以64.(2)S弓形ACBS扇形OAB-SOABR-R2sinAOB46-6212-9.【点拨】直接用公式l|R可求弧长，利用S弓S扇-S可求弓形面积关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致弧长、面积是实际应
9、用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用扇形AOB的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小解：设扇形半径为r，则弧长为8-2r，所以S(8-2r)r3，解得r1或3.所以圆心角6或.类型三三角函数的定义已知角的终边经过点P(a，2a)(a0)，求sin，cos，tan的值解：因为角的终边经过点P(a，2a)(a0)，所以ra，xa，y2a.所以sin，cos，tan2.【点拨】若题目中涉及角终边上一点P的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解已知角的终边经过点P(3m-9，m2)(1)若m2，求5sin3tan的值；(2)若cos0且sin0，求实数m
10、的取值范围解：(1)因为m2，所以P(-3，4)，所以x-3，y4，r5.所以sin，tan-.所以5sin3tan530.(2)因为cos0且sin0，所以所以-2m3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知02，求证：|sin|cos|1.证明：作平面直角坐标系xOy和单位圆(1)当角的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox轴，设它交单位圆于A点，如图1，显然sin0，cosOA1，所以|sin|cos|1.图1(2)当角的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP，设它交单位圆于A点，过A作ABx轴于B，如图2，则sinBA，cosOB.图2在OAB中，|BA|
11、OB|OA|1，所以|sin|cos|1.综上所述，|sin|cos|1.【点拨】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性求证：当时，sintan.证明：如图所示，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PMOA于M，连接AP，则在RtPOM中，sinMP，在RtAOT中，tanAT，又根据弧度制的定义，有OP，易知SPOAS扇形POASAO
12、T，即OAMPOAOAAT，即sintan.1要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角2在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用如2k30(kZ)，k360(kZ)的写法都是不规范的3一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷4已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况5牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论6已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行
13、分类讨论7在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单82k表示与终边相同的角，其大小为与的偶数倍(而不是整数倍)的和，是的整数倍时，要分类讨论如：(1)sin(2k)sin；(2)sin(k)(-1)ksin. 1若sincos0，则角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第二或第四象限角解：因为sincos0，所以或所以角是第二或第四象限角故选D.2已知角的终边经过点(-4，3)，则cos()A B C- D-解：cos-.故选D.3()已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin-，则y()A-8 B8
14、C-4 D4解：根据题意sin-0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角再由三角函数的定义得-，解得y-8.故选A.4()已知角x的终边上一点坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为()A. B. C. D.解：因为cosxsin，sinxcos-，所以x-2k，kZ，当k1时，x.故选B.5()已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y2x上，则sin的值为()A- B. C- D.解：由题意可知tan2，sin(sin2cos2)(sincoscos2)-cos2(tan1)-.故选D.6sin1，cos1，tan1的大小关系是()Asin1cos1tan1B
15、tan1sin1cos1Ccos1tan1sin1Dcos1sin1tan1解：如图，单位圆中MOP1 radrad，因为OMMPAT，所以cos1sin1tan1.故选D.7点P从(1，0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为_解：由三角函数的定义知点Q(x，y)满足故填.8若一扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad，则扇形的面积为_ cm2.解：因为r5 cm，2 rad，所以扇形的面积S|r225225(cm2)故填25.9若是第三象限角，则2，分别是第几象限角？解：因为是第三象限角，所以2k2k，kZ.所以4k224k3，kZ.所以2是第一、二象限角，或
16、角的终边在y轴非负半轴上又kk，kZ，所以当k2m(mZ)时，2m2m(mZ)，则是第二象限角；当k2m1(mZ)时，2m2m(mZ)，则是第四象限角故是第二、四象限角10已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解：设扇形半径为r，则弧长为10-2r，所以S(10-2r)r4，解得r1或4.当r1时，82，舍去；当r4时，.因此，.11在平面直角坐标系xOy中，将点A(，1)绕原点O逆时针旋转90到点B，那么点B的坐标为多少？解：设点A(，1)为角终边上一点，如图所示，|OA|2，由三角函数的定义可知，sin，cos，则2k(kZ)，由三角函数定义得A(2cos，2s
17、in)，设B(x，y)，由已知得x2cos2cos-1，y2sin2sin，所以B(-1，) ()如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为(1，0)，BOA60，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1y轴于A1，过点B作BB1y轴于B1.(1)求经过1秒后，BOA的弧度数；(2)求质点A，B在单位圆上的第一次相遇所用的时间；(3)记A1B1的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值解：(1)经过1秒后，BOA112.(2)设经过t秒后相遇，则有t(11)2，解得t，即经过秒后A，B第一次相遇(3)y，当tk(kN)，即tk(kN)时，ymax.
