1、84空间中的平行关系1空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们_公共点；(2)直线与平面相交，则它们_公共点；(3)直线与平面平行，则它们_公共点直线与平面相交或平行的情况统称为_2直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外_与此平面内的_平行，则该直线与此平面平行即线线平行线面平行用符号表示：_(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线_即线面平行线线平行用符号表示：_3平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们_；(2)两个平面相交，则它们_两个平面垂直是相交的一种特殊情况4平面与平面平行的判
2、定和性质(1)平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行用符号表示：_推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行即l，l.平行于同一个平面的两个平面平行即，.(2)平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_即面面平行线线平行用符号表示：_如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面用符号表示：_如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面用符号表示：_自查自纠1(1)有无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面外2
3、(1)一条直线一条直线a，b，且aba(2)交线平行a，a，bab3(1)没有公共点(2)有一条公共直线4(1)相交直线a，b，abP，a，b(2)平行，a，bab，aa，ll 已知平面，和直线a，b，a，b，且ab，则与的关系是()A平行 B相交C平行或相交 D垂直解：可在平面内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面，则根据面面平行的判定定理知；若c与面相交，则面与相交故选C. ()设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：如果m，m，那么与可能平行也可能相交；反过来，如果m，那么m，所以m是的必要不充分
4、条件故选B. ()有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解： l可以在平面内，不正确；直线a与平面可以是相交关系，不正确；直线a可以在平面内，不正确；命题正确故选A. ()，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解：由mn，m，可得n或n在内，当n时，与可能相交，也可能平行，故错易知都正
5、确故填. 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：PR与BQ是异面直线；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是A1BC1的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于RQA1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以不正确；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1是边长为的正三角形，所以正确故填.类型一线线平行如图所示，在三棱锥PABQ中，D，C，E，F分别是AQ，B
6、Q，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.求证：ABGH.证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明()如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于
7、F.证明：EFB1C.证明：由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D.又A1D面A1DE，B1C面A1DE，所以B1C面A1DE.又B1C面B1CD1，面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.类型二线面平行如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C与平面ABCD的交线为AC，所以EFAC.又点E为AD的中点，所以EF为DAC的中位线所以EFAC.因为AB2，ABCD为正方形，所以AC2，
8、EF.故填.【点拨】本题是已知直线和平面平行，由线面平行的性质定理得到线线平行，再根据中位线定理得到要求的线段长度反过来，给定已知条件，要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行()如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点求证：(1)AD1平面BDC1；(2)BD平面AB1D1.证明：(1)因为D1，D分
9、别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1綊DA.所以四边形ADC1D1为平行四边形所以AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，所以AD1平面BDC1.(2)连接D1D.因为BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，所以BB1D1D.又D1，D分别为A1C1，AC的中点，所以BB1D1D.故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD平面AB1D1.类型三面面平行()如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1
10、)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又由(1)知BEMO，BE平面MNG，MO平面MNG，所以BE平面MNG(依据中位线证MNBD也可)又DE，BE为平面BDE内两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.【点拨】证明面面平行的方法详见“名师点睛”栏；第(2)问选用的证法也是证明面面平行的常
11、用证法如图，在三棱锥SABC中，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：平面EFG平面ABC.证明：因为ASAB，AFSB，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC，又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.1证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：ab，bcac；(3)线面平行的性质定理：a，a，bab；(4)面面平行的性质定理：，a，bab；(5)线面垂直的性质定理：m，nmn.2证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a，
12、b，且aba；(3)利用面面平行的性质：，ll；(4)向量法m，n，mnm；(5)空间平行关系的传递性：mn，m，n，mn；(6)，l，ll.3证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a，b，abP，a，b；推论：a，b，m，n，abP，mnQ，am，bn(或an，bm)；(3)利用面面平行的传递性：；(4)利用线面垂直的性质：.4应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断5注意线线平行、线面平行、面面平行间的相
13、互转化应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”1()已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A若m，m，则B若，则C若m，n，mn，则D若m，n是异面直线，m，m，n，n，则解：由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D正确；对于选项C，可以相交或平行，C错误，故选C.2若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解：因为直线l不
14、平行于平面，且l，所以l与相交观察各选项，易知A，C，D都是错误的故选B.3设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有()A B C D解：由面面平行的性质定理可知正确；当m，n，m，n可能是异面直线，错误；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以mn，正确故选C.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3V
15、B1E1BC1F1C.若V1V2V3141，则截面A1EFD1的面积为()A4B8C4D16解：由于两个截面平行，所以三部分都可看作直棱柱，所以底面积之比为141.易得AE2，A1E.所以SA1EFD14.故选C.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内与平面D1EF平行的直线()A不存在 B有1条C有2条 D有无数条解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，则必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行故选D.6如图，若是长
16、方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFG B四边形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱台解：因为EHA1D1，A1D1B1C1，EH面BCC1B1，所以EH面BCC1B1.又因为面EFGH面BCC1B1FG，所以EHFG，且EHFG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，此几何体为五棱柱，所以选项A，B，C都正确故选D.7如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_
17、(写出所有符合要求的图形序号)解：在中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB平面MNP；在中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以ABMP，又因为MP平面MNP，AB平面MNP.所以AB平面MNP.中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交故填.8()如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_解：因为平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因为B1D1BD，所以BDPQ.设P
18、QABM，又因为ABCD，所以四边形BDQM为平行四边形，所以MQBDa.又PMBDa，所以PQMQ-PMa-a.故填a.9()如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH.证法一：(1)连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，所以DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，BC2EF，H为BC的中点，所以BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，所以
19、BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB，又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.又BD平面ABED，故BD平面FGH.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点求证：(1)PO面D1BQ；(2)平面D1BQ平面PAO.证明：(1)连接DB，在D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则POD1B，又PO面D1BQ，D1B面D1BQ，所以PO面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，所以PABQ.又PA面D1BQ，BQ面D1BQ，所以PA面D1BQ.又由(1)知PO面D1BQ，POPAP，PO，P
20、A平面D1BQ，所以平面D1BQ平面PAO.11()一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH.解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.因为M，O分别是BC，BD的中点，所以OMCD，且OMCD，又HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN.所以MNHO是平行四边形，从而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH. ()如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解：(1)证明：由已知得AMAD2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又AD BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.
