1、微专题64 利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如：，则直线的方向向量为 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组： 解出的比值即可例如：，求所在平面的法向量解：设，则有 ，解得： （二）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用
2、表示平面的法向量）1、判定类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值。（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者
3、某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若使得 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：三点中取两点构成两个向量因为在上，所以 共线定理的应用（关键），即仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得： 例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变
4、量表示，方法如下：，故，即二、典型例题例1：（2010 天津）在长方体中，分别是棱上的点，（1）求异面直线所成角的余弦值（2）证明：平面（3）求二面角正弦值解：由长方体得：两两垂直 以为轴建立空间直角坐标系（1） （2），设平面的法向量为 平面（3）设平面的法向量 例2：如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若分别为棱上的点，为中点，且 （1）求证：平面平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值（3）求点到平面的距离解：平面 矩形 故两两垂直以为轴建立空间直角坐标系 ，且分别为的中线 设点，因为三点共线 而 而 同理，设点，因为三点共线 而 而 （1）设平面的法向量为 设平面的法向量为 平面平面（2
5、）设平面的法向量为 而 设直线与平面所成角为，则（3） 例3：已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面 ，分别是线段的中点（1）求证： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值解：因为平面，且四边形是矩形 以为轴建立空间直角坐标系，设 （1） （2）设 设平面的法向量为 平面 解得 存在点，为的四等分点（靠近）（3）底面 在底面的投影为 为与平面所成的角，即为等腰直角三角形 即 平面的法向量为平面为平面，所以平面的法向量为 设二面角的平面角为，可知为锐角 例4：四棱锥中，平面平面，是中点（1）求证：平面（2）求二面角的平
6、面角的余弦值（3）在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：过在平面作的垂线交于为中点 平面平面平面以为轴建立空间直角坐标系（1） 设平面的法向量为 平面（2）设平面的法向量为 设平面的法向量为 所以二面角的平面角的余弦值为（3）设 而平面的法向量为平面 例5：已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（1）求证：平面平面 （2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值是，求的值建系思路一：由与底面垂直，从而以作为轴，以为轴，由的菱形性质可得取中点，连结则有，从而建立空间直角坐标系解：取中点，连结，可得 平面 以为轴建立空间直角坐标系 可得： （1）设平面的法向量为 设
7、平面的法向量为 平面平面（2）设平面的法向量为 设平面的法向量为 设二面角的平面角为，则，可得 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对角线垂直的特点，以为坐标原点。过作的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使得底面上的点均在轴上；另一方面，可考虑以为单位长度，可得，避免了坐标中出现过多的字母解：过作，平面 平面因为为菱形，所以 以为轴建立空间直角坐标系，以为单位长度 （1）设平面的法向量为 设平面的法向量为 因为平面即为平面 平面平面（2）设平面的法向量为 设平面的
8、法向量为 设二面角的平面角为，则，可得 例6：如图，在边长为4的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使得（1）求证：平面 （2）求二面角的余弦值（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1） 平面 平面 （2） 两两垂直以为坐标轴建立坐标系计算可得： （2）平面的法向量为 设平面的法向量为 设二面角的平面角为 （3）设 设平面的法向量为 平面平面 解得： 不在线段上，故不存在该点小炼有话说：（1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。（2）在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法向
9、量的过程中会遇到所解方程含参的情况，此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。例7：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且（1）证明：平面； （2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围解： 平面 以为轴建立直角坐标系，设（1），设平面的法向量为 平面（2）设平面的法向量为 即平面的法向量为 由可得 设二面角的平面角为则 例8：在如图所示的多面体中，平面平面，且，是中点（1）求证： （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由解：过在
10、平面上作的平行线 平面 两两垂直如图建系： （1） （2）设平面的法向量为 设平面的法向量为 设平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 则 （3）设 在上 解得： 存在点，当为中点时，直线与平面所成的角为例9：如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点 （1）证明： （2）求直线与平面所成角的正弦值（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值解：底面 两两垂直，如图建系： （1） （2）设平面的法向量为 设直线与平面所成角为 （3）设 三点共线 解得： 设平面的法向量为 平面的法向量为 二面角的余弦值为例10：如图，在三棱柱，是正方形的中心，平面，且（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求二面角的正弦值（
11、3）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长解：连结，因为是正方形的中心交于，且平面如图建系：设 （1）（2）设平面的法向量为 设平面的法向量为 设二面角的平面角为，则（3），因为在底面上，所以设平面的法向量为平面 ，可解得： 三、历年好题精选1、如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点.（1）求证：平面（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值2、（2015，北京）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（1）求证： （2）求二面角的余弦值（3）若平面，求的值TFDEAGBHC3、（2015，山东）如图，
12、在三棱台中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面,求平面与平面所成角（锐角）的大小.4、（2014，北京）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长5、（2014，江西）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面（1）求证：（2）若，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值习题答案：1、解析：（1）以点为坐标原点，如图建系：则设平面的法向量为，可得： 平面（2）可知平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，可得所成的二面角余弦值为（3）设，则，平面的法向量为当即时，取得
13、最大值，即2、解析：（1） 为等边三角形且为的中点 平面平面平面（2）取中点，连结，分别以为轴如图建系可得： 设平面的法向量为 由可得： ，可得： 平面的法向量 由二面角为钝二面角可知 （3），设平面的法向量为 解得 平面 ，因为 ，解得：（舍）， 3、解析：（1）证明：连结，设交于点 在三棱台中，由可得 为中点，即且四边形是平行四边形 为中点且zxyFDEAGBHC在中，可得为中位线 又平面，平面，故平面；（2）由平面,可得平面而则,于是两两垂直，以点G为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设,则,，则平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则,即，取，则，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.4、解析：（1）证明：在正方形中，可知平面平面平面，且平面平面（2）因为底面，所以如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为 解得 设直线与平面所成角为，则 设点，由在棱上可得：由为平面的法向量可得：解得 5、解析：（1）证明：因为为矩形，所以又平面平面，且平面平面平面（2）过作的垂线，垂足为，过作的垂线垂足为，连结平面，平面在中，设，则 ，当时，最大此时如图建系，可得：设平面的一个法向量为则解得设平面的一个法向量为则解得设平面与平面夹角为，可得
