1、第七章 立体几何与空间向量 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲了然于胸1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题要点梳理1平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内基本性质2：经过_的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_过这个点的公共直线不在同一直线上有且只有一条两点(2)平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和_的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条_有且只有一个平面推论
2、3：经过两条_，有且只有一个平面直线外相交直线平行直线2空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点直线平行ab_个直线相交abA_个直线异面a，b 是异面直线_个010(2)平行公理和等角定理 平行公理平行于_的两条直线平行用符号表示：设a，b，c为三条直线，若ab，bc，则ac.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_同一条直线相等或互补(3)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线所成的角(或夹角)范围：0，2.锐角或直角3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系位
3、置关系图形语言符号语言公共点个数直线在平面内a_个直线与平面平行a_个直线与平面相交aA_个无数01位置关系图形语言符号语言公共点个数平面与平面平行_个平面与平面相交l_个0无数小题查验1已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c与 b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a、b 为异面直线相矛盾答案 C2(2015高考广东卷)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下
4、列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交解析 若 l 与 l1，l2 都不相交，即 ll1，ll2，所以 l1l2，这与 l1，l2 是异面直线矛盾，故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交答案 D3(2015湖北高考卷)l1，l2 表示空间中的两条直线，若 pl1，l2 是异面直线，ql1，l2 不相交，则()Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条
5、件解析 异面直线一定不相交，但不相交直线可能异面或者平行，故 p 是 q 的充分不必要条件答案 A4正方体各面所在平面将空间分成_部分解析 如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的 9 部分的一部分分成三部分，共 9327 部分答案 275如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为_解析 连接 BD，B1D1，如图所示，易证 EFBD，BDB1D1，故CB1D1 就是异面直线 B1C 与 EF 所成的角或所成角的补角连接 D1
6、C 知CB1D1 为正三角形，故 B1C 与 EF 所成的角为 60.答案 60考点一 空间两直线的位置关系(基础型考点自主练透)方法链接空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决题组集训1如图所示，G，H，M，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析 图(1)中，直线 GHMN；图(2)中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线
7、 GH 与 MN 异面；图(3)中，连接 MG，HN，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图(4)中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GM 与 MN 异面所以图(2)，(4)中 GH 与 MN 异面答案(2)(4)2如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以错
8、误点 B，B1，N 在平面 B1C 中，点 M在此平面外，所以 BN，MB1 是异面直线同理 AM，DD1 也是异面直线答案 3(2016江南十校联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 MAB1，NBC1，且 AMBN 2，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN 与 A1C1 是异面直线其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析 过 N 作 NPBB1 于点 P，连接 MP，可证 AA1平面 MNP，AA1MN，正确过 M、N 分别作 MRA1B1、NSB1C1 于点 R、S，则当 M 不是 AB1 的中点、N 不是
9、 BC1 的中点时，直线 A1C1 与直线 RS 相交；当 M、N 分别是 AB1、BC1的中点时，A1C1RS，A1C1 与 MN 可以异面，也可以平行，故错误由正确知，AA1平面 MNP，而 AA1平面A1B1C1D1，平面 MNP平面 A1B1C1D1，故对综上所述，其中正确命题的序号是.答案 考点二 平面的基本性质及应用(重点型考点师生共研)【例 1】(2016安顺模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，求证：E，C，D1，F 四点共面证明 如图，连接 CD1，EF，A1B，因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，所以 EF
10、A1B 且 EF12A1B.又因为 A1D1BC，且 A1D1BC，所以四边形 A1BCD1是平行四边形所以 A1BCD1，所以 EFCD1，即 EF 与 CD1 确定一个平面.且 E，F，C，D1，即E，C，D1，F 四点共面延伸探究 本例条件不变，求证：CE，D1F，DA 交于一点证明 由例题解析可知，EFCD1，且 EF12CD1，所以四边形 CD1FE是梯形所以 CE 与 D1F 必相交设交点为 P，如图，则 PCE平面 ABCD，且 PD1F平面 A1ADD1.又因为平面ABCD平面 A1ADD1AD，所以 PAD，所以 CE，D1F，DA交于一点【名师说“法”】1.证明空间点共线问
11、题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合(3)反证法提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明跟踪训练如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD上，且 BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H 四点
12、共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线证明(1)E，F 分别为 AB，AD 的中点，EFBD.在BCD 中，BGGCDHHC12，GHBD.EFGH.E，F，G，H 四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC，P平面ABC.同理 P平面 ADC.P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点又平面 ABC平面 ADCAC，PAC，P，A，C 三点共线考点三 异面直线所成的角(高频型考点全面发掘)考情聚焦【例 2】如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为()A
13、.15 B.25C.35D.45解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接A1C1，由 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 5522 5 545.答案 D延伸探究 1 将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面 ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1”，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为_解析 由平面 ABCD 内仅有一点到 A1 的距离为 1，则 AA11.此时正四棱柱变为正方体 ABCD-A1B1C1D1，由图知 A1B 与AD1 所成角为A1BC1，连接 A1
14、C1.则A1BC1 为等边三边形，A1BC160，cosA1BC112，故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为12.答案 12延伸探究 2 将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 910”，则AA1AB 的值为_解析 设AA1AB t，则 AA1tAB.AB1，AA1t，由题意知A1BC1 为所求，又 A1C1 2，A1B t21BC1，cosA1BC1 t21t2122 t21 t21 910，t3，即AA1AB 3.答案 3延伸探究 3 在本例条件下，若点 P 在平面 A1B1C1D1 内且不在对角线 B1D1 上，过点 P 在
15、平面 A1B1C1D1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 角，且 0，2.这样的直线可作_条解析 在平面 A1B1C1D1 内作 m，使 m 与 B1D1 相交成 角BDB1D1，直线 m 与 BD 也成 角，即 m 为所求且m 与 BD 是异面直线，当 2时，m 只有一条，当 2时，这样的直线有两条答案 两【名师说“法”】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直
16、线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角跟踪训练 1(2014新课标全国卷)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22解析 如图所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1 补成正方体ACBDA1C1B1D1，取 AD 的中点 E，连接 ME，MN，则 AEMN为平行四边形，MENA.BME 为异面直线 BM 与 AN 所成的角，设 BC1，在BME 中，MEBE 52
17、，BM 62，cosBME12BMME 3010.答案 C2(2016济南一模)在正四棱锥 V-ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为 1，侧棱长为 2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析 如图，设 ACBDO，连接 VO，因为四棱锥 V-ABCD 是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BDVO.又四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为2.答案 23(2015高考浙江卷)如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD、BC 的中点，则异面直线
18、AN，CM 所成的角的余弦值是_解析 试题分析：如右图，连结DN，取 DN 中点 P，连结 PM，PC，则可知PMC 即为异面直线 AN，CM 所成角(或其补角)易得 PM12AN 2，PCPN2CN2 21 3，CM AC2AM22 2，cosPMC82322 2 278，即异面直线 AN，CM 所成角的余弦值为78.答案 78易错警示 13 平面直线所成的角与三角形内角混淆典例(2016广州模拟)已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M、N 分别是 BC、AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角正解 如图，取 AC 的中点 P.连接 PM、PN.
19、则 PMAB，且 PM12AB.PNCD，且 PN12CD，所以MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)则MPN60或MPN120，若MPN60，因 PMAB，所以PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)又因 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等边三角形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN所成的角为 30.故直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30.易错分析 在MPN 中，找不清 AB 与 CD、AB 与 MN所成的角只得出MPN60一种情况，而忽略另一种情况M
20、PN120，即混淆了异面直线所成的角与三角形内角防范措施(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，不要忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；也就是平移线段后形成的三角形的内角为钝角时，其对应的异面直线所成的角为它的补角求异面直线所成的角务必注意范围(0，90(2)解三角形时要注意分析三角形是否为特殊三角形，可使解答简单：如本题的等腰三角形跟踪训练如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，A90，BC 2，DAAC，DAAB，若 DA1，且 E 为 DA 的中点求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值解 取 AC 的中点 F，连接 EF，BF，在ACD 中
21、，E、F分别是 AD、AC 的中点，EFCD.BEF 即为异面直线 BE 与 CD 所成的角或其补角在 RtEAB 中，ABAC1，AE12AD12，BE 52.在 RtEAF 中，AF12AC12，AE12，EF 22.在 RtBAF 中，AB1，AF12，BF 52.在等腰三角形 EBF 中，cosFEB12EFBE 2452 1010，异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 1010.课堂小结【方法与技巧】1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定方法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面【失误与防范】1全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型2注意点、线、面位置关系符号的正确应用课时活页作业(三十七)点击图标进入 谢谢观看！
