1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与终边相同的角可表示为|2k，kZ2弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角(2)角的弧度数公式：|(3)角度与弧度的换算：3602 rad，1 rad，1 rad5718.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：lr面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则si
2、n y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线4终边相同的角的三角函数sin (k2)sin_，cos (k2)cos_，tan (k2)tan_(其中kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等1一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用3三角函数定义的推广设点P(x
3、，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .4四种角的终边关系(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.1(基础知识：弧长公式)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10 B9C D答案：D2(基本能力：终边相同的角的概念)下列与的终边相同的角的解析式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案：C3(基本方法：角的范围)集合|kk，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案：C4(基础知识：三角函数定义)已知
4、角的终边过点(4，3)，则cos sin _答案：5(基本应用：函数定义域)函数y的定义域为_答案：题型一终边相同的角及象限角 典例剖析类型 1终边相同的角例1(1)与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150.答案：150(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分).解析：射线yx表示的终边，y轴上半轴表示的终边，其区域角为.x轴正半轴表示0的终边，其区域角为|kk，kZ|kk，kZ|kk，kZ类型 2象限角
5、例2已知sin 0，cos 0，则 所在的象限是()A.第一象限 B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因为sin 0，cos 0，所以为第二象限角，即2k2k，kZ，则kk，kZ.当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角答案：C方法总结1象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角拓展求或n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示(2)两边同除以n或乘n
6、.(3)对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限2表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合提醒注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180可得角180的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角题组突破1设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos ，cos 0.综上知，为第二象限角答案：B2终边在
7、直线yx上，且在2，2内的角的集合为_解析：如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为，答案：题型二扇形弧长、面积公式的应用典例剖析典例(1)(2021太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C D2 sin 1解析：如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D，则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而弧AB的长为lr.答案：C(2)(2021成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方
8、形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是.答案：(3)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为_时，扇形面积最大，最大值为_解析：由题意知，l2r20，即l202r，故S扇lr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25.答案：525方法总结 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形对点训练1(2021合肥模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著
9、，卷一方田三三：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为()A120平方步 B240平方步C360平方步 D480平方步解析：由题意可得S830120(平方步).答案：A2某广告公司制作一块扇环形的广告牌(如图)，测得该扇环的长为6米，的长为2米，AD与BC的长均为2米若每平方米制作费用为200元，则此广告牌的制作费用是()A800元 B1 600元C2 400元 D3 200元解析：设扇环的圆心角为，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r2，则解得扇环的面积S3221228(平方米).广告牌的制作费
10、用是82001 600(元).答案：B题型三三角函数的定义 典例剖析类型 1用三角函数的定义求值例1(1)(2021山西大同模拟)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_解析：cos ，解得x.答案：(2)已知角的终边在直线y3x上，则10sin 的值为_解析：设终边上任一点为P(k，3k)，则r |k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.答案：0类型 2三角函数值符号的判断例2(1)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在解析：2340，cos 30.sin 2cos 3tan 40.
11、答案：A(2)已知sin 20，且|cos |cos ，则点P(tan ，cos )在第_象限解析：法一：由sin 20，得2k22k2(kZ)，kk(kZ).当k为奇数时，的终边在第四象限；当k为偶数时，的终边在第二象限又cos 0，的终边在左半坐标平面(包括y轴)上，的终边在第二象限，tan 0，cos 0，点P在第三象限法二：由|cos |cos 知cos 0，又sin 20，即2sin cos 0.由可推出因此的终边在第二象限，点P(tan ，cos )在第三象限答案：三类型 3三角函数线的应用例3(1)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin t
12、an cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin OMMP，故有sin cos tan .答案：C(2)y 的定义域为_解析：sin x，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.答案：方法总结 1已知角的终边求三角函数值的关键点(1)已知角终边上点P的坐标求点P到原点的距离利用三角函数定义求解(2)已知角终边所在的直线方程根据象限位置，设出的终边上点P的坐标利用三角函数定义求解2判断三角函数值符号的关键点(1)确定的终边所在的象限位置(2)根据终边上点P的坐标符号：正弦
13、值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正，异号正切值为负3利用函数线解决三角不等式，比较三角函数值，其关键是正确作出三角函数线(1)找出角的终边与单位圆的交点P.(2)作x轴的垂线，过单位圆与x轴的正半轴的交点作圆的切线(3)找出所用的三角函数线(注意方向) 题组突破1已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan 等于()A BC D解析：由OP2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan ，所以sin tan .答案：C2已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限
14、B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由题意可得则所以角的终边在第二象限答案：B3函数ylg (2sin x1)的定义域为_解析：要使原函数有意义，必须有即如图所示，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ).答案：(kZ)(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A BC D解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan sin ，不满足；在上，tan sin ，不满足；在上，sin 0，cos 0，tan 0，且cos ta
15、n ，满足；在上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足答案：C(2020福建高考模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(gu)影算法”在大衍历中建立了晷影长l与太阳天顶距(080)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角函数知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即lh tan .已知天顶距1时，晷影长l0.14.现测得午中晷影长度l0.42，则天顶距约为()(参考数据：tan 10.017 5，tan 20.034 9，tan 30.052 4，tan 22.80.420 4)A2 B3C11 D22.8解析：由题意，可得晷影长lh tan ，且顶距1时，晷影长l0.14.所以h8，当晷影长度l0.42时，则tan 0.052 5，所以 3.答案：B
