1、第九章 统计、统计案例、概率 第6节 几何概型考纲了然于胸1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义要点梳理 1几何概型的定义事件 A 理解为区域 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的_成正比，而与 A 的_和_无关，满足上述条件的试验称为几何概型几何度量(长度、面积、体积)位置形状2几何概型的概率公式P(A)A，其中_表示区域 的几何度量，_表示子区域 A 的几何度量A质疑探究：几何概型与古典概型有何异同？提示：相同点：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的；求解的思路是相同的，同属“比例解法”不同点：古典概型中基本事件的个数是有限的，而几何概型中基
2、本事件的个数是无限的，需用相应的几何度量求解小题查验1用一平面截一半径为 5 的球得到一个圆面，则此圆面积小于 9 的概率是()A.45 B.15 C.13 D.12解析 选 B 依题意得截面圆面积为 9 的圆半径为 3，球心到该截面的距离等于 4，球的截面圆面积小于 9 的截面到球心的距离大于 4，因此所求的概率等于545 15.答案 B2函数 f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点 x05,5，使 f(x0)0 的概率是()A1 B.23C.310D.25解析 选 C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当 x01,2时，f(x0)0，则所求概率 P2155 310.答案 C 3(20
3、15福建高考)如图，矩形 ABCD中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12解析 由图形知 C(1,2)，D(2,2)，S 四边形 ABCD6，S 阴123132.P32614.答案 B4已知直线 yxb，b2,3，则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是_解析 区域 D 为区间2,3，d 为区间(1,3，而两个区间的长度分别为 5,2.故所求概率 P25.答案 255(2016广州调研)在边长为 2 的正方形 A
4、BCD 内部任取一点 M，则满足AMB90的概率为_解析 如图，如果点 M 位于以 AB 为直径的半圆内部，则AMB90，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则AMB90，所以AMB90的概率 P1212228.答案 8考点一 与长度、角度有关的几何概型(基础型考点自主练透)方法链接求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)题组集训 1(2015山东高考)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1”发生的概率为()A.34 B.23 C.13 D.14答案 A2在集
5、合 Am|关于 x 的方程 x2mx34m10 无实根中随机地取一元素 m，恰使式子 lg m 有意义的概率为_解析 由m2434m1 0 得1m4，即 Am|1m4由 lg m 有意义知 m0，即使 lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为 P404145.答案 453如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在DAB 内任作射线AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_解析 连接 AC，tanCABBCAB 13 33，CAB6，其概率为 P6213.答案 134如图，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在B
6、AC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM1 的概率_解析 由已知可得 BD1，BAC75，当 M 在线段BD 上，满足 BM1，即射线 AM 在角BAD 内，其概率 P307525.答案 25考点二 与面积有关的几何概型(高频型考点全面发掘)考情聚焦与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划交汇命题的问题角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1(2016广东七校联考)如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B分别为 60和 45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子
7、落在三角形 ABC 内的概率为()A.3 316B.3 34C.43 3D.163 3解析 选B 由正弦定理 BCsin A ACsin B2R(R为圆的半径)BC20sin 60，AC20sin 45BC10 3，AC10 2.那么 S ABC1210 310 2sin 751210 310 2 6 2425(3 3)于是，豆子落在三角形 ABC 内的概率为S ABC圆的面积253 31023 34.答案 B2(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2B.4C.6D.8解析 选 B 由几何
8、概型的概率公式可知，质点落在以AB 为直径的半圆内的概率 P 半圆的面积长方形的面积122 4，故选 B.答案 B角度二 与线性规划交汇命题的问题3(2016广州一模)任取实数 a，b1,1，则 a，b 满足|a2b|2 的概率为()A.18B.14C.34D.78解析 选 D 如图所示，则事件|a2b|2 所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线 a2b2分 别 交 直 线 a 1 与 y 轴 于 点E1，12，F(0,1)所以|BE|12，|BF|1.所以 S BEF12|BE|BF|1212114，易得 DHGBEF.因此 S DHGS BEF14，故阴影部分的面积SS 四边形
9、 ABCD2S BEF2221472.由几何概型的概率公式可知，事件|a2b|2 的概率PSS四边形ABCD7222721478，故选 D.答案 D4(2016东莞一模)已知 A(2,1)，B(1，2)，C35，15，动点 P(a，b)满足 0OP OA 2，且 0OP OB 2，则点 P 到点 C 的距离大于14的概率为()A1 564 B.564 C1 16D.16解析 选 A OP OA 2ab，OP OB a2b，又 0OP OA 2，且 0OP OB 2，02ab2，0a2b2 表示的区域如图阴影部分所示，点 C 在阴影区域内到各边界的距离大于14.又|OM|2 55，所求概率 P2
10、 5521422 5521 564.答案 A冲关锦囊求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解考向三 与体积有关的几何概型(重点型考点师生共研)【例】有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_思路点拨 采用对立事件转化为半球的体积与圆柱的体积比解析 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体积 V 圆柱1222，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球
11、12431323.则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为23213，故点 P 到点 O 的距离大于 1的概率为 11323.答案 23【名师说“法”】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.跟踪训练(2016 济 南 一 模)如 图，长 方 体ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD 内的概率为_答案 16易错警示 22 对几何度量认识不清致误典例(2013高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第
12、一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A.14 B.12 C.34 D.78 正解 结合线性规划，利用几何概型求解设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为 x，y，则 0 x4,0y4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒”，即|xy|2，可行域如图阴影部分所示由几何概型概率公式得P(A)42212224234.答案 C易错分析“4 秒为间隔闪亮”，误认为是两串灯的闪亮总时段相差不超过 2 秒，即概率为 P2412，把面积型误认为是长度型温馨提醒
13、对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时常常与线性规划问题联系在一起成功破障 向边长为 2 米的正方形木框 ABCD 内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在 P 点；则 P 点到 A 点的距离大于 1 米，同时DPC(0，2)的概率为_.解析 由题意知点在以 DC 为直径的圆外，且在以 A 为圆心 1 为半径的圆外，即 P点在如图所示的阴影部分内，则概率为 P223412221316.答案 1316课堂小结【方法与技巧】1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个2对一个具体的几何概型问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式【失误与防范】准确把握几何概型的“测度”是解题关键，其中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果课时活页作业(五十七)点击图标进入 谢谢观看！
