1、2016-2017学年四川省眉山中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x25x+40，B=1，0，1，2，3，则AB=（）A1，0，1B0，1，2C1，2，3D1，2，3，42是z的共轭复数，z+=2，（z）i=2，则z对应的点位于复平面内（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3“lnx1”是“xe”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要4已知向量，满足（+）=5，且|=2|=2，则向量，的夹角为（）ABCD5已知数列an中，a1=1，an+1=2a
2、n+1（nN*），Sn为其前n项和，则S5的值为（）A57B61C62D636某电商对10000名网购者2015年度消费情况进行统计，其消费频率分布直方图如图，则在这些网购者中，消费金额在0.5，0.9内的人数为（）A2000B4500C6000D75007已知x，y满足约束条件，则z=3xy的最大值是（）A0B2C4D68定义行列式运算=a1b2a2b1，将函数f（x）=的图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）ABCD9现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同抽取方法有（）
3、A472 种B484 种C232 种D252种10定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（4x），且x（1，3时，f（x）=，则函数g（x）=4f（x）x的零点个数为（）A5B4C3D611已知函数f（x）=ax3+x2在x=1处取得极大值，记g（x）=程序框图如图所示，若输出的结果S，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）An2014？Bn2015？Cn2014？Dn2015？12若f（x）是f（x）的导函数，f（x）2f（x）（xR），f（）=e，则f（lnx）x2的解集为（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请
4、把答案填在答题卡上相应位置.13（3）（1+x）3的展开式中x2的系数是14一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是15设x表不超过实数x的最大整数，又g（x）=（a0，a1），那么函数f（x）=g（x）+g（x）的值域是16设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x
5、轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围19已知等差数列an单调递增，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2，数列bn的前n项和为Sn，求使|+Sn|成立的n的最小值20某市旅游节需在A大学和B大学中分别招募8名和12名志愿者，这20名志愿者的身高（单位
6、：cm）绘制出如图所示的茎叶图若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有B大学的“高个子”才能担任“兼职导游”（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，现从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出随机变量的分布列及数学期望21已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且
7、R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）22已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye1时，求证：exy2016-2017学年四川省眉山中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x
8、25x+40，B=1，0，1，2，3，则AB=（）A1，0，1B0，1，2C1，2，3D1，2，3，4【考点】交集及其运算【分析】利用交集性质直接求解【解答】解：集合A=x|x25x+40=x|1x4，B=1，0，1，2，3，AB=1，2，3故选：C2是z的共轭复数，z+=2，（z）i=2，则z对应的点位于复平面内（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解复数z，得到复数的对应点的坐标，即可得到结果【解答】解：z+=2，（z）i=2，可得2z2=，即z=1+=1i，复数z对应点的坐标（1，1）在第四象限故选：D3“l
9、nx1”是“xe”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由对数函数的性质求出lnx1的解集，由充要条件的有关定义推出结论【解答】解：由lnx1得，0xe，即lnx10xe，则“xe”推不出“lnx1”成立，所以“lnx1”是“xe”的充分不必要条件，故选：A4已知向量，满足（+）=5，且|=2|=2，则向量，的夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】设向量，的夹角为，0，由（+）=5，通过向量的数量积，可得关于cos的方程，解之结合的范围可得【解答】解：设向量，的夹角为，0，由（+）=5，可得=5，|=2，
10、|=1，代入数据可得22+21cos=5，解之可得cos=，故可得=故选：B5已知数列an中，a1=1，an+1=2an+1（nN*），Sn为其前n项和，则S5的值为（）A57B61C62D63【考点】数列递推式【分析】由an=2an1+1，得an+1=2（an1+1）（n2），可判断an+1是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得an，然后利用分组求和法可得Sn，当n=5时，代入即可求得S5=6452=57，即可得到答案【解答】解：由an+1=2an+1an+1+1=2（an+1），a1=1，所以an+1是以2为公比，2为首项的等比数列，所以an+1=22n1=2n，an=2n1，Sn=
11、（21）+（221）+（231）+（2n1）=（2+22+23+2n）n，=n，Sn=2n+1n2=2n+1n2当n=5时，S5=6452=57，故答案选：A6某电商对10000名网购者2015年度消费情况进行统计，其消费频率分布直方图如图，则在这些网购者中，消费金额在0.5，0.9内的人数为（）A2000B4500C6000D7500【考点】频率分布直方图【分析】根据频率和为1算出a的值，再求出消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的频率与频数【解答】解：由题意，根据频率和为1得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）0.1=1，解得a=3；所以消费金额在0.5，0.9内的人数为（3+
12、2.0+0.8+0.2）0.110000=6000故选：C7已知x，y满足约束条件，则z=3xy的最大值是（）A0B2C4D6【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，再作出直线l0：y=3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=3xz在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=3xz经过的可行域内的点的坐标，代入z=3xy中即可【解答】解：如图，作出约束条件的可行域，作出直线l0：y=3x，由得A（2，0），将l0平移至过点A（2，0）处时，函数z=3xy有最大值6故选：D8定义行列式运算=a1b2a2b1，将函数f（x）=的图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t
13、的最小值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的奇偶性【分析】利用新定义直接求出f（x）的表达式，图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，【解答】解：f（x）=，它的图象向左平移t（t0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，函数为：，t+=时，t最小，所以t的最小值为：，故选C9现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同抽取方法有（）A472 种B484 种C232 种D252种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】用间接法分析，先求出“从16张卡片中任取3张”的情况
14、数目，再分析计算其中“同一种颜色”以及“有2张红色”的情况数目，用“从16张卡片中任取3张”的情况数目减去“同一种颜色”以及“有2张红色”的情况数目即可得答案【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，从16张卡片中任取3张有C163种情况，其中如果取出的3张为同一种颜色，有4C43种情况，如果取出的3张有2张红色的卡片，有C42C121种情况，则满足条件的取法有C1634C43C42C121=5601672=472种；故选：A10定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（4x），且x（1，3时，f（x）=，则函数g（x）=4f（x）x的零点个数为（）A5B4C3D6【考点】抽象
15、函数及其应用；函数的图象；函数的零点【分析】由条件函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（4x）推出函数的最小正周期是4，画出y=f（x）的图象，令g（x）=0，则f（x）=，函数g（x）的零点个数即为y=f（x）的图象与y=的图象交点个数，通过图象的观察与分析即可得到结论【解答】解：函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（4x），则有f（x）=f（4x），即f（x+4）=f（x），f（x）是最小正周期为4的函数，令g（x）=0，则f（x）=，先作出y=f（x）在（1，3上的图象，即一个周期的图象，然后将它向左、向右平移4k（k是正整数）个单位，并作出直线y=，观察在y轴的
16、右边，当x=4时，y=1，得到1个交点，当x4时，直线在上方，无交点；当0x4时，显然有3个交点；当2x0时，有1个交点；当x2时，y=f（x）的图象恒在上方，无交点故y=f（x）的图象与直线y=的交点有5个，即函数g（x）的零点个数为5故选A11已知函数f（x）=ax3+x2在x=1处取得极大值，记g（x）=程序框图如图所示，若输出的结果S，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）An2014？Bn2015？Cn2014？Dn2015？【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：函数f（x）=ax3+x2，在
17、x=1处取得极大值，即f（x）=3ax2+x的零点为1，即 3aa=0，解得：a=，故f（x）=x2+x，故g（x）=，则S=g（1）+g（2）+g（3）+g（k）=1=，若输出的结果S，则k2015，故进行循环的条件应为n2015？，故选：B12若f（x）是f（x）的导函数，f（x）2f（x）（xR），f（）=e，则f（lnx）x2的解集为（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】构造函数F（x），求出导数，判断F（x）在R上的单调性原不等式等价为F（lnx）F（），运用单调性，可得lnx，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集【解答】解：可构造函数F（
18、x）=，F（x）=，由f（x）2f（x），可得F（x）0，即有F（x）在R上递增，f（）=e，F（）=1，不等式f（lnx）x2，1，即1，（x0），F（lnx）1=F（），lnx=ln，0x，故不等式的解集为（0，）故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13（3）（1+x）3的展开式中x2的系数是8【考点】二项式定理的应用【分析】根据（3）（1+x）3=（3）（1+3x+3x2+x3），求得它的展开式中x2的系数【解答】解：（3）（1+x）3=（3）（1+3x+3x2+x3），故它的展开式中x2的系数是91=8，故答案为：814一个总体中有6
19、0个个体，随机编号为0，1，2，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是43【考点】系统抽样方法【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔号为=10，所以在第5组中抽取的号码为3+104=43故答案为：4315设x表不超过实数x的最大整数，又g（x）=（a0，a1），那么函数f（x）=g（x）+g（x）的值域是0，1【考点】函数的值域【分析】由题意可得出g（x）+g（x）=1，g（x）=1（0，1）；再对g（x）
20、与g（x）的分类区间讨论即可；【解答】解：由题意知g（x）=（a0，a1），则：g（x）=；所以，g（x）+g（x）=1；又由于g（x）=1（0，1）；故当g（x）（0，）时，g（x）（，1）时，f（x）=g（x）+g（x）=1+0=1；当g（x）=g（x）=，f（x）=g（x）+g（x）=0+0=0；当g（x）（，1）时，g（x）（0，），f（x）=g（x）+g（x）=0+（1）=1；综上所述，函数f（x）的值域为0，1；故答案为：1，016设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是【考点】函数恒成立问题【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进
21、行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可【解答】解：对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则等价为恒成立，f（x）=x+2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g（x）=，由g（x）0得0x1，此时函数g（x）为增函数，由g（x）0得x1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由，得2ekk+1，即k（2e1）1，则，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知极坐标系
22、的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|【解答】解：（1）=4cos2=4cos，2=x2+y2，cos=x，x2+y2=4x，所以
23、曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，由（t为参数）消去t得：所以直线l的普通方程为（2）把代入x2+y2=4x得：t23t+5=0设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5所以|PQ|=|t1t2|=18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB0，可求，结合A为内角即可求得A的值（）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B）1，由可求B的范围，从而可求，即可得解【解答】解：（）由正
24、弦定理可得，从而可得，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB0，于是，又A亦为三角形内角，因此，（），=，=，由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为19已知等差数列an单调递增，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2，数列bn的前n项和为Sn，求使|+Sn|成立的n的最小值【考点】数列的求和【分析】（1）根据等差数列的性质，以及方程的思想得到a3，a5是方程x214x+45=0的两个根，且a3a5，求出a3=5，a5=9，再求出公差，即可求出通项公式，（2）化简数列bn，得到数列bn是以4为首项，以4为公比的等
25、比数列，求出Sn，代入化简，利用放缩法即可的n4，问题得以解决【解答】解：（1）在等差数列an中，a3a5=45，a2+a6=14，a3+a5=14，a3，a5是方程x214x+45=0的两个根，且a3a5，解得a3=5，a5=9，a5=a3+2d，d=2，a1=a32d=54=1，an=1+2（n1）=2n1，nN*，（2）bn=2=4n，bn+1=4n+1，=4，数列bn是以4为首项，以4为公比的等比数列，Sn=（4n1），210=10241000|+Sn|=|+4n|=4n+1，22n+2210，2n+210，n4，n的最小值为420某市旅游节需在A大学和B大学中分别招募8名和12名志愿
26、者，这20名志愿者的身高（单位：cm）绘制出如图所示的茎叶图若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有B大学的“高个子”才能担任“兼职导游”（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，现从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出随机变量的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，从而可得5人
27、中“高个子”为2人，“非高个子”为3人，从而可求至少有1人为高个子的概率P=1=； （2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望【解答】解：（1）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5=2人，“非高个子”为5=3人，则至少有1人为高个子的概率P=1=，至少有1人是“高个子”的概率是；（2）由题可知：B大学的高个子只有3人，则的可能取值为0，1，2，3；故P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，即的分布列为：0123PE（）=0+1+2+3=，随机变量的数学期望E（）=21已知一家公司生
28、产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义【分析】（1）由年利润W=年产量x每千件的销售收入为R（x）成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大
29、值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果【解答】解：（1）当；当x10时，W=xR（x）（10+2.7x）=982.7xW=（2）当0x10时，由W=8.1=0，得x=9，且当x（0，9）时，W0；当x（9，10）时，W0，当x=9时，W取最大值，且当x10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38综合知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大22已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，
30、+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye1时，求证：exy【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导数，利用导数的正负，确定f（x）在其定义域（0，+）单调性；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）bx21+b，构造函数g（x）=1+，g（x）min即为所求的b的值；（3）exy，即证，令g（x）=，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增【解答】（1）解：，f（x）0得0x，f（x）0得x，f（x）在上递减，在上递增（2）解：函数f（x）在x=1处取得极值，a=1，f（x）bx21+b，令g（x）=1+，则g（x）=（2lnx），由g（x）0得，xe2，由g（x）0得，0xe2，g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，g（x）min=g（e2）=1，即b1（3）证明：exy，即证，令g（x）=，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增，又g（x）=，显然函数h（x）=ln（x+1）在（e1，+）上单调递增h（x）10，即g（x）0，g（x）在（e1，+）上单调递增，即，当xye1时，有exy2017年1月20日