1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使函数yf(x)的值为0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个_c_也就是方程f(x)0的根.2.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x
2、1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0
3、时没有零点.()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()1.(教材改编)函数f(x)()x的零点个数为_.答案1解析f(x)是增函数，又f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f(x)ax2bxc的零点为1,3，则函数yax2bxc的对称轴是_.答案x2解析ya(x1)(x3)a(x2)2a，对称轴为x2.3.(2016长春检测)函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是_.(，1); (1,2)；(2，e); (e,3).答案解析因为f()e20，f(1)20，f(2)ln 20
4、，所以f(2)f(e)0，所以函数f(x)ln xx2的零点所在区间是(2，e).4.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.答案解析函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.5.(教材改编)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_.答案(2,0)解析结合二次函数f(x)x2xa的图象知，故，所以2a0.题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1(1)(2016盐城调研)已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是_.(填序号)(0,
5、1); (1,2); (2,3); (3,4).(2)设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.答案(1)(2)(1,2)解析(1)f(x)ln xx2在(0，)为增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，x0(2,3).(2)令f(x)x3()x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)0，x0所在的区间是(1,2).命题点2函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)的零点个数是_.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个
6、数是_.答案(1)2(2)4解析(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点.思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合
7、法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是_.(填序号)(0,1); (1,2)；(2,4); (4，).(2)(教材改编)已知函数f(x)2x3x，则函数f(x)的零点个数为_.答案(1)(2)2解析(1)因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).(2)令f(x)0，则2x3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y2x和y3x的图象，如图所示，由图知函数y2x和y3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 题型二函数零点的应用例3(1)函数f
8、(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_.(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_.答案(1)(0,3)(2)(0,1)(9，)解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，0a9.引申探究本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_.答案(0，)解析作出y1|x23x|，y2a的图象如下：当x时，y1；当
9、x0或x3时，y10，由图象易知，当y1|x23x|和y2a的图象有四个交点时，0a.思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_.(2)(2016江苏前黄中学调研)若函数f(x)kx2有4个零点，则实数k的取值范围是_.答案(1)(2,0)(2)(，4)解析(1)ax2x在(0,1)上有解，又yx2x(x)2，函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0
10、.(2)令f(x)0，则方程kx2有4个不同的实数根，显然，x0是方程的一个实数根.当x0时，方程可化为|x|(x1)，设h(x)，g(x)|x|(x1)，由题意知h(x)与g(x)图象(如图所示)有三个不同的交点，由g(x)结合图象知0，所以k4.题型三二次函数的零点问题例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0
11、，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1).思维升华解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系.(3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016江苏泰州中学质检)关于x的一元二次方程x22(m3)x2m140有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是_.答案(，)解析设f(x)x22(m3)x2m14，由题设可得所以m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_.(2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_.思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个
12、数，利用数形结合求解参数范围.(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决.解析(1)函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图象有两个交点.当0a1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点.实数a的取值范围为(1，).(2)由方程，解得a，设t2x(t0)，则a(t1)2(t1)，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(1)(1，)(2)(，221.(2016江苏东海中学期中)若函数f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_.答案1或1解析题目转化为求方程f(x)x的根，所以或
13、解得x1或x1，所以g(x)的零点为1或1.2.若函数f(x)log3xx3的零点所在的区间是(n，n1)(nZ)，则n_.答案2解析由f(2)log3210，知f(x)0的根在区间(2,3)内，即n2.3.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为_.答案acb解析方法一由于f(1)10且f(x)为R上的递增函数.故f(x)2xx的零点a(1,0).g(2)0，g(x)的零点b2；h10，且h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点c，因此acb.方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx，作出函数y2x，yl
14、og2x和yx的图象(如图).由图象易知a0,0c1，而b2，故ac0)的解的个数是_.答案2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.5.函数f(x)的零点个数为_.答案2解析当x0时，令f(x)0，得x210，x1，此时f(x)有一个零点；当x0时，令f(x)0，得x2ln x0，在同一个坐标系中画出y2x和yln x的图象(图略)，观察其图象可知函数y2x和yln x的图象在(0，)上的交点个数是1，所以此时函数f(x)有一个零点，所以f(x)的零点个数为2.6.已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a
15、(x0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_.答案，)解析当0x1时，f(x)aa；当1x2时，f(x)aa；当2x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.8.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_.答案(0,1)解析画出函数f(x)的图象，如图. 由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得0m0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_.答案3解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间(0
16、，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.10.若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的最小值为_.答案1解析设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0).因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称.又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m0，n0，所以()(2)(22 )1.当且仅当，即mn2时等号成立.所以的
17、最小值为1.11.(2016江苏淮阴中学期中)已知关于x的一元二次方程x22axa20的两个实根是，且有123，则实数a的取值范围是_.答案(2，)解析设f(x)x22axa2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得即解得2a，所以实数a的取值范围为(2，).12.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，1,2上单调递增，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，1.13.已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围.解(1)设x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解.即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点，作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解只需1a1，故a的取值范围为(1,1).- 12 - 版权所有高考资源网
