1、第3讲平面向量 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171平面向量的概念及线性运算江苏高考对平面向量考查命题热点是：平面向量的几何意义、数量积、两向量平行与垂直试题常以填空题形式出现，数量积是命题热点平面向量常与三角函数、解析几何等知识相结合，以解答题形式呈现，难度中等2平面向量的数量积第12题第13题3平面向量与其他知识点的综合运用第12题第16题1必记的概念与定理(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则
2、a(1，k)是直线l的一个方向向量2平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角1804记住几个常用的公式与结论(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1
3、y2)(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)(4)设a(x，y)，R，则a(x，y)(5)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2(6)两向量a，b的夹角公式：cos (a(x1，y1)，b(x2，y2)(7)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a0，则abbax1y2x2y10ab(b0)ab0x1x2y1y205需要关注的易错易混点(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取
4、不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息(4)“ab0”是“为锐角”的必要不充分条件， “ab0，c0，由BE2EA得E，则直线OA：yx，直线CE：(b2a)yc(xa)，联立可得O，则(ab，c)(ab，c)b2c2a2，由6得b2c2a22(b2c22ab)，化简得4abb2c2a2，则法二： 由A，O，D三点共线，可设，则()，由E，O，C三点共线可设，则()，则(1)(1)，由平面向量基本定理可得解得，则(
5、)，则66()(22)，化简得322，则向量数量积是高考命题的热点，可以说是必考内容向量数量积主要应用于三类问题：一是角度问题，二是求模问题，三是与三角形结合解决有关问题涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：(1)直接利用数量积的定义， 在利用定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方(2)建立坐标系，通过坐标运算求解对点训练3(2019苏北四市高三模拟)已知|，且1，若点C满足|1，则|的取值范围是_解析 由题意可得|cosAOB2cosAOB1，则cosAOB，AOB以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O
6、且与OA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(，0)，B，设C(x，y)，则，又|1，所以1，即点C的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆|的几何意义是点C到坐标原点的距离，又圆心到坐标原点的距离为，所以1|1答案 1，14(2019益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足ab0，|ab|t|a|，若ab与ab的夹角为，则t的值为_解析 因为ab0，所以(ab)2(ab)2，即|ab|ab|又|ab|t|a|，所以|ab|ab|t|a|因为ab与ab的夹角为，所以cos ，整理得，即(2t2)|a|22|b|2又|ab|t|a|，平方得|a|2|b|2t2|a|2，所以|a|2t2|a|2，解得
7、t2因为t0，所以t答案 平面向量与三角函数的综合运用典型例题 (2019苏锡常镇四市模拟)已知向量a，b(1，4cos )，(0，)(1)若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值【解】(1)因为ab，所以sin12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又cos 0，所以tan (2)若ab，则4cos sin3，即4cos 3，所以sin 2cos 22, 所以sin1，因为(0，)，所以2，所以2，即在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的
8、关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题对点训练5(2019江苏省四星级学校联考)已知向量a(2，cos 2x)，b，函数f(x)ab(1)若f()，求f的值；(2)若函数g(x)af(x)b的定义域为，值域为1，3，求实数a，b的值解 由题意知f(x)2cos2cos 2xcos1cos 2x2sin1(1)因为f()2sin1，所以sin又，所以2，则cos因为f2sin12sin 21，sin 2sin，所以f211(2)因为g(x)af(x)b2asi
9、nab，由x可得，2x，所以sin显然a0，当a0时，由题意可得，解得；当a0时，由题意可得，解得综上，或1已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_解析 由题意知abk(b3a)，所以解得答案 2(2019江苏名校高三入学摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且cacb1，则|a2b3c|_解析 设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则cax1，cby1，所以c(1，1)，所以a2b3c(2，5)，所以|a2b3c|答案 3(2019南京、盐城高三模拟)如图，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，则的值为_解析 由2，得(2)，又，ABAC3，cosBAC
10、，所以(2)()(93)2答案 24已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角_解析 因为a(ba)aba22，所以ab2a23所以cos 所以向量a与b的夹角为答案 5(2019无锡市高三模拟)已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围为_解析 法一：由|1，且与的夹角为120，作向量，则，在OAB中，OAB18012060，OB1，则由正弦定理，得OAsinABO，即00，故0u，即0|答案 6(2019高三第一次调研测试)在平面四边形ABCD中，AB1，DADB，则3，2，则|2|的最小值为_解析 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角
11、坐标系，则A，B设D(0，b)，C(m，n)，则(1，0)m3，解得m，(3，n)nb2，得nb易得2(4，n2b)，则|2|2，当且仅当n2b时取等号，故|2|的最小值为2答案 27(2019南通市高三模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3点B，C分别在m，n上，|5，则的最大值是_解析 以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(0，3)，设C(c，0)，B(b，2)，则(b，1)，(c，3)，从而(bc)2(4)252，即(bc)29，又bc33，当且仅当bc时取等号答案 8(2019南京高三模
12、拟)在凸四边形ABCD中，BD2，且0，()()5，则四边形ABCD的面积为_解析 ()()()()()()5，即AC2BD25因为BD2，所以AC3，所以四边形ABCD的面积为ACBD233答案 39(2019江苏省高考名校联考信息卷(一)如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点，AB8，AC6，xy(x，y是实数)，则的值是_解析 连结BC，根据题意，可知AB2AC2102，又圆O的半径为5，则直径是10，所以BC恰好是圆O的直径，所以ABAC()()，此时x，y，xy()1又()，()()(22)，故答案 10(2019苏锡常镇四市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，设点A(
13、1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)m()()对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是_解析 原不等式可化为(ac)2(bd)2(m2)(acbd)mbc，即a2b2c2d2m(acbdbc)0，整理成关于实数a的不等式为a2mcab2c2d2mbdmbc0，此式恒成立，从而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0，再整理成关于实数d的不等式为d2mbdb2c2mbcm2c20，从而2m2b240，再整理成关于实数b的不等式为(4m2)b24mcb4c2m2c20，从而，解得1m1，所以m的最大值是1答案 111(2019江苏省高考名校联考(一)已
14、知在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m(cos A，cos B)，n(b2c，a)，且mn(1)求角A的大小；(2)若a4，bc8，求AC边上的高h的值解 (1)因为mn，所以mn0，所以(b2c)cos Aacos B0，由正弦定理得cos Asin B2cos Asin Ccos Bsin A0，即sin(AB)2cos Asin C0，因为ABC，所以sin(AB)sin C，所以sin C2cos Asin C0又C(0，)，所以sin C0，所以cos A因为A(0，)，所以A(2)由解得bc4又SABCbcsin AhAC，所以h212(2019苏州期末检测)
15、已知向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，且a，b共线，其中(1)求tan的值；(2)若5cos ()3cos ，0，求的值解 (1)因为ab，所以sin 2cos 0，即tan 2所以tan 3(2)由(1)知tan 2，又，所以sin ，cos ，因为5cos()3cos ，所以5(cos cos sin sin )3cos ，即cos 2sin 3cos ，所以cos sin ，即tan 1，又0，所以13已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)
16、若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解 (1)因为b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，所以f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t则yt2t1，1t，所以当t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，因为x，所以x，所以x，所以x所以函数f(x)的最小值为，相应x的值为(2)因为a与b的夹角为，所以cos cos cos xsin sin xcos(x)因为0x，所以0x，所以
17、x因为ac，所以cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，所以sin(x)2sin 20，即sin2sin 20所以sin 2cos 20，所以tan 214(2019镇江期末)已知ABC的面积为S，且S(1)求sin A；(2)若|3，|2，求sin B解 (1) 因为ABC的面积为S，且S，所以bccos Abcsin A，所以sin Acos A，所以A为锐角，且sin2Acos2Asin2Asin2Asin2A1，所以sin A(2)设ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为|c3，|a2，由正弦定理得，即，所以sin C，又因为ca，则C为锐角，所以C，所以sin Bsinsin Acos cos Asin
