1、考点测试53双曲线高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲研读1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则双曲线C的离心率为()A. B C D答案B解析由题意可得，则离心率e，故选B.2已知双曲线1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A B C D答案D解析由m21652，解得m3(m3舍去)所以a5，b3，从而，故选D.3已知平面内两定点A(5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA
2、|MB|6，则点M的轨迹方程是()A.1 B1(x4)C.1 D1(x3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c5，a3，b2c2a216.焦点在x轴上，轨迹方程为1(x3)故选D.4若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等答案A解析0k0,25k0.1与1均表示双曲线，又25(9k)34k(25k)9，它们的焦距相等，故选A.5已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B1C.1 D1答案A解析1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(
3、2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，则C的方程为1.故选A.6已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4 C6 D8答案B解析由双曲线的方程，得a1，c，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|(2)2，解得|PF1|PF2|4.故选B.7已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到相应焦点
4、的距离为1，则双曲线C的方程为_答案x21解析由题意得解得则b，故所求方程为x21.8设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为_答案17解析解法一：实轴长2a8，半焦距c6，|PF1|PF2|8.|PF1|9，|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|的最小值为ca642，|PF2|17.解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|28109，P在左支上|PF2|PF1|2a8，|PF2|9817.二、高考小题9(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q
5、两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B C2 D答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.10(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B C2 D3答案A解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点P在第一象限，由于|PO|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标
6、为，即PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.故选A.11(2019浙江高考)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A B1 C D2答案C解析由题意可得1，e .故选C.12(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A B C2 D答案D解析由已知易得，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以
7、c25a2，所以e.故选D.13(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案A解析因为e，e21312，所以.因为该双曲线的渐近线方程为yx，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A.14(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4答案B解析由题意分析知，FON30.所以MON60，又因为OMN是直角三角形，不妨取NMO90，则ONF30，于是|FN|OF|2，|FM|OF|1，所以|MN|3.故选B.15(2
8、018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A B2 C D答案C解析由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e.故选C.16(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1答案C解析双曲线1(a0，b0)的离心率为2，e214
9、，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1，故选C.17(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.|OF2|OB|，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图1所
10、示，不妨设B为.点B在直线yx上，离心率e2.解法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2.18(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_答案yx解析因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx.19(2018江苏高考)在平面直
11、角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_答案2解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为c，bc，b2c2，又b2c2a2，c24a2，e2.20(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_答案解析如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d.又MAN60，|MA|NA|b，MAN为等边三角形，d|MA|b，即b，a23b2，e .三、
12、模拟小题21(2019白银二模)已知点M为双曲线C：x21的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|F1F2|MF2|()A1 B4 C6 D8答案B解析由双曲线C：x21，可得a1，b2，c3，点M为双曲线C：x21的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|F1F2|MF2|2a2c4.故选B.22(2019长沙模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)，以点P(b,0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MPN90，则C的离心率为()A B C D答案A解析不妨设双曲线C的一条渐近线bxay0与圆P交于M，N，因为MPN90，所以圆
13、心P到bxay0的距离为a，即2c22a2ac，解得e.故选A.23(2019咸宁模拟)已知F1，F2为双曲线C：1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2|PF2|，则cosF1F2P()A B C D答案D解析由题意可知，a4，b3，c5，设|PF1|2x，|PF2|x，则|PF1|PF2|x2a8，故|PF1|16，|PF2|8，又|F1F2|10，利用余弦定理可得cosF1F2P.24(2019福州模拟)已知P是双曲线C：y21的右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1 B2C4 D21答案D解析设
14、F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离易知l的方程为y或y，F2(，0)，可得F2到l的距离为1，故|PF1|PQ|的最小值为21.选D.25(2019安阳一模)设F1，F2分别为离心率e的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b()A2 B2 C4 D4答案A解析由题意知e，2，故渐近线方程为y2x，以F1，F2为直径的圆
15、的方程为x2y2c2，联立得y，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM，则四边形MA2NA1的面积S2a4，得ac，又，得a1，c，b2，故选A.26(2019上饶模拟)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF
16、245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形|BA|BF1|AF1|42.SF1AB|BA|BF1|224.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，由题意得ab，所以c2a2b22a24，解得a2b22，所以双曲线的方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0
17、，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，将其代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.2(2020河北武邑中学月考)已知mR，直线l：yxm与双曲线C：1(b0)恒有公共点(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程解(1)联立消去y，整理得(b22)x24mx2(m2b2)0.当b22
18、，m0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b22，易得e.当b22时，由题意知16m28(b22)(m2b2)0，即b22m2，故b22，则e22，e.综上可知，e的取值范围为(，)(2)由题意知F(c,0)，直线l：yxc，与双曲线C的方程联立，得消去x，化简，得(b22)y22cb2yb2c22b20，当b22时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，不满足题意，故b22.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即因为，所以y1y2，由可得y1，y2，代入整理得5c2b29(b22)(c22)，又c2b22，所以b27.所以双曲线C的方程为1.3(20
19、19丹东质量测试)已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)设A1，A2分别为C的左、右顶点，P为双曲线C上异于A1，A2的一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点解(1)设双曲线C：1(a0，b0)，因为离心率为2，所以c2a，ba.所以双曲线C的渐近线为xy0，由，得c2.于是a1，b，故双曲线C的方程为x21.(2)证明：设P(x0，y0)(x01)，因为A1(1,0)，A2(1,0)，可得直线A1P与A2P的方程分别为y(x1)，y(x1)由题设，得M，N，|MN|，MN的中点坐标为
20、，于是圆D的方程为x22.因为x1，所以圆D的方程可化为x2y2y30.当y0时，x，因此圆D经过两个定点(，0)和(，0)4(2020山西太原一中月考)已知直线l：yx2与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求双曲线C的离心率；(2)设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|DF|17，试判断ABD是否为直角三角形，并说明理由解(1)设B(x1，y1)，D(x2，y2)把yx2代入1，并整理得(b2a2)x24a2x4a2a2b20，则x1x2，x1x2.由M(1,3)为BD的中点，得1，即b23a2，故c2a，所以双曲线C的离心率e2.(2)由(1)得双曲线C的方程为1，A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1x20，不妨设x1a，x2a，则|BF|a2x1，|DF|2x2a，所以|BF|DF|(a2x1)(2x2a)2a(x1x2)4x1x2a25a24a8，又|BF|DF|17，所以5a24a817，解得a1或a(舍去)所以A(1,0)，x1x22，x1x2.所以(x11，y1)(x11，x12)，(x21，x22)，因为(x11)(x21)(x12)(x22)2x1x2(x1x2)50，所以，即ABD为直角三角形