1、2015-2016学年四川省眉山中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入括号内）1下列集合中，只有一个子集的集合是( )Ax|x20Bx|x30Cx|x|0Dx|（x）302下列各组中的函数相等的是( )Af（x）=，g（x）=（）2Bf（x）=|x|，g（x）=Cf（x）=，g（x）=x+1Df（x）=，g（x）=3下列函数是偶函数的是( )Ay=xBy=x2，x0，1Cy=xDy=2x234下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是( )Ay=|x|By=3xCy=Dy=x2+45
2、函数y=ax2+bx+3在（，1上是增函数，在1，+）上是减函数，则( )Ab0且a0Bb=2a0Cb=2a0Da，b的符号不确定6函数y=2|x|的大致图象是( )ABCD7若函数y=f（x）的定义域是0，2，则函数的定义域是( )A0，1B0，1）C0，1）（1，4D（0，1）8已知有三个数a=（）2，b=40.3，c=80.25，则它们之间的大小关系是( )AacbBabcCbacDbca9计算，结果是( )A1BCD10设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是( )AB4CD411函数y=（）的值域为( )A）B（，2C（0，D（0，212设函数y=f（x）在（，+）内有定义，对于给
3、定的正数K，定义函数：fK（x）=取函数f（x）=a|x|（a1）当K=时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是( )A（，0）B（a，+）C（，1）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若指数函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象过点，则f（2）=_14若函数f（x）=（12a）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是_15函数的增区间是_16下列几个命题奇函数的图象一定通过原点函数y=是偶函数，但不是奇函数函数f（x）=ax1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是（1，4）若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（x1）若函数f（x）=在R上的增函数，则实
4、数a的取值范围为4，8）其中正确的命题序号为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合A=x|x2+3x40 B=x|1 （1）求集合A、B；（2）求AB，（CRB）A18已知函数f（x）是R上的奇函数，且x0时，f（x）=x2+2x（1）求f（x）的解析式；（2）在如图的直角坐标系中画出函数求f（x）的图象，并求不等式f（x）0的解集19某公司生产一种商品的固定成本为200元，每生产一件商品需增加投入10元，已知总收益满足函数：g（x）=其中x是商品的月产量（1）将利润表示为月产量的函数f（x）（总收益=总成本+利润）；（2）当月产量为何值时公司
5、所获利润最大？最大利润为多少元？20若f（x）是定义在（0，+），对一切x，y0，满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0（1）证明：f（x）在（0，+）是增函数；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）f（）221设函数f（x）=（1）若f（a）=3，求实数a的值；（2）若f（x）1，求实数x的取值范围22已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t（，1，不等式f（1+2t）+f（k4t）0恒成立，求实数k的取值范围2015-2016学年四川省眉山中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题
6、共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入括号内）1下列集合中，只有一个子集的集合是( )Ax|x20Bx|x30Cx|x|0Dx|（x）30【考点】子集与真子集 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据集合元素的个数与子集的个数关系，可以推出集合为空集，从而推出正确选项；【解答】解：对于A=0的子集有两个，A不正确；对于B，x|x30=x|x0，有无数个元素，子集也有无数个，所以不正确，对于C，不等式无解，是空集，只有一个子集，所以正确对于D，x|x30=x|x0，与A类似，不正确故选C【点评】此题主要考查子集的性质，以及空集的定
7、义，是一道基础题2下列各组中的函数相等的是( )Af（x）=，g（x）=（）2Bf（x）=|x|，g（x）=Cf（x）=，g（x）=x+1Df（x）=，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同，推出结果即可【解答】解：f（x）=，g（x）=（）2两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数f（x）=|x|，g（x）=，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数f（x）=，g（x）=x+1两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数f（x）=，g（x）=两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数故选：B【点
8、评】本题考查函数的定义域以及函数对应法则的应用，是基础题3下列函数是偶函数的是( )Ay=xBy=x2，x0，1Cy=xDy=2x23【考点】函数奇偶性的判断 【专题】函数的性质及应用【分析】根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以x代替x后，所得到的函数值不变，函数是偶函数，检验各个选项中的函数是否满足这两个条件【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数经检验只有D中的函数满足条件故选：D【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法，属于基础题4下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是( )Ay
9、=|x|By=3xCy=Dy=x2+4【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】阅读型【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性问题即可获得解答【解答】解：由题意可知：对A：y=|x|=，易知在区间（0，1）上为增函数，故正确；对B：y=3x，是一次函数，易知在区间（0，1）上为减函数，故不正确；对C：y=，为反比例函数，易知在（，0）和（0，+）为单调减函数，所以函数在（0，1）上为减函数，故不正确；对D：y=x2+4，为二次函数，开口向下，对称轴为x=
10、0，所以在区间（0，1）上为减函数，故不正确；故选A【点评】此题是个基础题本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力值得同学们体会反思5函数y=ax2+bx+3在（，1上是增函数，在1，+）上是减函数，则( )Ab0且a0Bb=2a0Cb=2a0Da，b的符号不确定【考点】二次函数的性质 【专题】计算题【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到，得到选项【解答】解：函数y=ax2+bx+3的对称轴为函数y=ax2+bx+3在（，1上是增函数，在1，+）上是减函数b=2a0故选B【点评】
11、解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴6函数y=2|x|的大致图象是( )ABCD【考点】指数函数的图像变换 【专题】数形结合【分析】对函数进行转化为分段函数，当x0时，函数表达式为y=（）x，而当x0时，函数表达式为y=2x，然后再用基本函数y=ax的图象进行研究【解答】解：函数y=2|x=21，且图象关于y轴对称函数图象在y轴右侧为减函数，y1 左侧为增函数，y1故选C【点评】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换，一般地，通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，对称区间上的图象，则由奇偶性或对称性研究7若函数y=f（x）的定义域是0，2，则函数的定义
12、域是( )A0，1B0，1）C0，1）（1，4D（0，1）【考点】函数的定义域及其求法 【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：02x2，又分式中分母不能是0，即：x10，解出x的取值范围，得到答案【解答】解：因为f（x）的定义域为0，2，所以对g（x），02x2且x1，故x0，1），故选B【点评】本题考查求复合函数的定义域问题8已知有三个数a=（）2，b=40.3，c=80.25，则它们之间的大小关系是( )AacbBabcCbacDbca【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】先判断出a（0，1），b，c（1，+），
13、再用指数的运算性质，将指数式化为同底式，进而可以比较大小【解答】解：a=（）2=（0，1），b=40.3=20.61，c=80.25=20.751，且20.7520.6，故abc，故选：B【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，指数式比较大小，难度中档9计算，结果是( )A1BCD【考点】有理数指数幂的化简求值 【专题】计算题【分析】通过变分数指数幂为根式，分母有理化及结合非0实数的0次幂为1化简求得结果【解答】解：=故选B【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题10设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是( )AB4CD4【考点】奇函数；函数的值 【专题】计算题【分析】由f（x）
14、是奇函数得f（x）=f（x），再由x0时，f（x）=2x，求出g（x）的解析式，再求出g（2）的值【解答】解：f（x）为奇函数，x0时，f（x）=2x，x0时，f（x）=f（x）=2x=，即，故选A【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值，注意利用负号对自变量进行范围的转化11函数y=（）的值域为( )A）B（，2C（0，D（0，2【考点】函数的值域 【专题】计算题【分析】由二次函数可得x22x=（x1）211，由复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和值域可得答案【解答】解：令函数t（x）=x22x，由二次函数的知识可知：当x=1时，函数t（x）取到最小值1，故t（
15、x）1，因为函数y=为减函数，故=2又由指数函数的值域可知，故原函数的值域为：（0，2故选D【点评】本题为函数值域的求解，熟练掌握二次函数和指数函数以及复合函数的单调性是解决问题的关键，属基础题12设函数y=f（x）在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）=取函数f（x）=a|x|（a1）当K=时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是( )A（，0）B（a，+）C（，1）D（1，+）【考点】函数的单调性及单调区间 【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可【解答】解：因为x=1，x=1，所以
16、：fK（x）=，因为a1，所以当x1时，函数递增，当1x1时，为常数函数，当x1时，为减函数故选 D【点评】本题是在新定义下对函数单调性以及单调区间的综合考查在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若指数函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象过点，则f（2）=4【考点】指数函数的图像与性质 【专题】函数的性质及应用【分析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可【解答】解：设指数函数为y=ax（a0且a1）将 代入得=a1解得a=，所以，则f（2）=故答案为 4【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式
17、若知函数模型求解析式时，常用此法14若函数f（x）=（12a）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是（0，）【考点】函数单调性的性质 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】若函数f（x）=（12a）x在R上是减函数，则012a1，解得答案【解答】解：函数f（x）=（12a）x在R上是减函数，012a1，解得：a（0，），故答案为：（0，）【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，将已知转化为底数012a1是解答的关键15函数的增区间是1，1【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明 【专题】函数的性质及应用【分析】由于函数是由函数复合而成的，而函数在其定义域上为增函数，
18、因此要求函数的增区间即求函数t=x2+2x+3的增区间，再与函数函数的定义域求交集即可【解答】解：函数是由函数复合而成的，在其定义域上为增函数，要求函数的增区间即求函数t=x2+2x+3的增区间，由于函数t=x2+2x+3的增区间为（，1，又由函数的定义域为1，3，故函数的增区间是1，1故答案为：1，1【点评】本题主要考查简单复合函数的单调性的关系属基础题16下列几个命题奇函数的图象一定通过原点函数y=是偶函数，但不是奇函数函数f（x）=ax1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是（1，4）若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（x1）若函数f（x）=在R上的增函数，则实数a的取值范围为
19、4， 8）其中正确的命题序号为【考点】命题的真假判断与应用 【专题】函数思想；定义法；平面向量及应用【分析】若在原点无意义，则奇函数图象就不过原点；可整理为y=0；横过的含义为无论参数a取何值，函数都过某一点；利用偶函数的定义自变量x取相反数，函数值不变；分段函数要使在整个区间单调，则必须每个区间都有相同的单调性，且在临界处满足单调性【解答】解：奇函数的图象关于原点对称，若在原点有意义，则一定通过原点，故错误；函数y=的定义域为1，1，整理后y=0，即是偶函数，又是奇函数，故错误；a0=1，当x=1时，f（1）=4，函数f（x）=ax1+3的图象一定过定点P（1，4），故正确；若f（x+1）为
20、偶函数，由偶函数定义可知f（x+1）=f（x+1），故错误；若函数f（x）=在R上的增函数，a1，且40，f（1）a，实数a的取值范围为4，8）故正确；故正确额序号为【点评】考查了函数的奇偶性，分段函数的单调性问题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合A=x|x2+3x40 B=x|1 （1）求集合A、B；（2）求AB，（CRB）A【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；不等式的解法及应用；集合【分析】（1）解二次不等式和分式不等式，可得集合A、B；（2）再由集合交集，交集，补充的定义，可得AB，（CRB）A【解答】解：（1）解x2+3x
21、4=0得：x=4，或x=1，故集合A=x|x2+3x40=（，41，+），可化为：，故集合B=x|1=（1，2），（2）AB=（，41，+）（1，2）=（，4（1，+），CRB=（，12，+），（CRB）A=（，42，+）【点评】本题考查的知识点是不等式的解法，集合的交集，并集，补集运算，难度中档18已知函数f（x）是R上的奇函数，且x0时，f（x）=x2+2x（1）求f（x）的解析式；（2）在如图的直角坐标系中画出函数求f（x）的图象，并求不等式f（x）0的解集【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法 【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数奇偶性的
22、性质，利用对称性进行求解即可（2）画图，并由图象得到结论【解答】解：（1）设x0，则x0，f（x）=（x）22x=x22x，f（x）是R上的奇函数，f（x）=f（x），f（0）=0，f（x）=x2+2x，f（x）=，（2）其图象如图所示，由图象可知，f（x）0的解集为（2，0）（2，+）【点评】本题考查函数解析式的求解，利用了奇函数的性质f（x）=f（x），以及函数图象的画法和不等式的解法，属于基础题19某公司生产一种商品的固定成本为200元，每生产一件商品需增加投入10元，已知总收益满足函数：g（x）=其中x是商品的月产量（1）将利润表示为月产量的函数f（x）（总收益=总成本+利润）；（2）
23、当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润为多少元？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）利润=收益成本，由已知分两段当0x40时，和当x40时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值【解答】解：（1）由于月产量为x件，则总成本为200+10x，从而利润f（x）=，即有f（x）=；（2）当0x40时，f（x）=（x30）2+250，所以当x=30时，有最大值250；当x40时，f（x）=60010x是减函数，所以f（x）=6001040=200250所以当x=30时，有最大值250，即当月产量为30件时，公司所获利
24、润最大，最大利润是250元【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值20若f（x）是定义在（0，+），对一切x，y0，满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0（1）证明：f（x）在（0，+）是增函数；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）f（）2【考点】抽象函数及其应用 【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；（2）将不等式f（x+3）f（
25、）2行等价转化，利用函数的单调性进行求解【解答】（1）证明：任取x1，x2（0，+），且x1x2，则1，则f（）0，又f（xy）=f（x）+f（y），f（x1）+f（）=f（x2），则f（x2）f（x1）=f（）0，f（x2）f（x1），f（x）在定义域内是增函数（2）解：f（2）=1，f（22）=f（2）+f（2）=1+1=2，即f（4）=2，则不等式f（x+3）f（）2等价为f（x+3）f（）f（4），即f（x+3）f（）+f（4）=f（），则不等式等价为，即，即3x，即不等式的解集为（3，）【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数
26、的基本方法，21设函数f（x）=（1）若f（a）=3，求实数a的值；（2）若f（x）1，求实数x的取值范围【考点】分段函数的应用 【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用【分析】（1）分段讨论，代入求值即可，（2）分段讨论，分别求出其不等式的解集【解答】解：（1）f（a）=3当2a1=3时，解的a=2，符合题意，当a=3时，解的a=6，符合题意综上：a=2或a=6，（2）当2x11时，即2x2解得x1，当x1时，解的x2，综上所述不等式的解集为（，1）（2，+）【点评】本题考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象和性质，关键是分段讨论，属于基础题22已知定义在R上的函数f（x）=
27、是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t（，1，不等式f（1+2t）+f（k4t）0恒成立，求实数k的取值范围【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题 【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题，利用对应系数相等获得解答，（2）先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论；（3）对任意的t（，1，不等式f（1+2t）+f（k4t）0恒成立，得k4t（1+2t），k+min，t（，1，即可获得解答【解答】解：（1）定义在R上的
28、函数f（x）=是奇函数，f（x）=，b=1，a=1；（2）f（x）=1+在R上是单调增函数设0x1x2，则有f（x1）f（x2）=1+1=0x1x2，f（x1）f（x）0，即f（x1）f（x2）函数f（x）=在区间（0，+）上是单调递增函数，函数是奇函数，f（x）=在R上是单调增函数（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数由对任意的t（，1，不等式f（1+2t）+f（k4t）0恒成立，得k4t（1+2t），k+对一切t（，1恒成立k+min，t（，1，k，k【点评】本题考查的是函数的奇偶性和单调性问题在解答的过程当中充分体现了恒成立思想函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止
