1、第3课时1(2016年新课标)如图Z620，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值图Z6202(2016年北京)如图Z621，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由图Z6213(2018年江苏)如图Z622，在正三棱柱A
2、BCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值图Z6224如图Z623，在四棱锥PABCD中，PDAB，PDBC，ABAD，BAD30.(1)证明：ADPB；(2)若PDAD，BCCD，BCD60，求二面角APBC的余弦值图Z6235如图Z624，直角梯形ABCD中，ABC90，ABBC2AD4，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD平面EBCF.(1)当AGGC最小时，求证：BDCG；(2)当2VBADGEVDGBCF时，求二面角DB
3、GC平面角的余弦值图Z6246如图Z625，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF平面ABCD，FCFB，四边形ABCD为平行四边形，且BCD45.(1)求证：CDBF；(2)若AB2EF2，BC，直线BF与平面ABCD所成角为45，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值图Z6257如图Z626，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上(1)求证：平面ACD平面BCD；(2)当2时，求二面角DACB的余弦值图Z6268如图Z627所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD90，DCDA2AB2
4、 ，点E为AD的中点BDCEH，PH平面ABCD，且PH4.(1)求证：PCBD.(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角BDFC的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由图Z627第3课时1(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，又EFDFF，AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解：过点D作DGEF，垂足为G，由(1)知，DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图D258所示的空间直角坐标系Gxyz，图D258由(1)知，DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60.则|DF|2，|DG|，可得A(1,4
5、,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCDC，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，CEF为二面角CBEF的平面角CEF60.从而可得C(2,0，)(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.2(1)证明：平面PAD平面ABCD，ABAD，AB平面PAD.ABPD.又PAPD，PAABA，PD平面PAB.(2)解：取AD的中点O，
6、连接PO，CO，PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD.CO平面ABCD，POCO.ACCD，COAD.建立如图D259所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意，得A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.n(1，2,2)又(1,1，1)，cosn，.直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.图D259(3)解：设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)BM平面PCD，要使BM平面PCD，只有当且仅当n0，即(1，)(1，2,
7、2)0.解得.在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.3解：如图D260，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.ABAA12，A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)图D260(1)P为A1B1的中点，P，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)Q为BC的中点，Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)
8、，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin |cos，n|，直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.4(1)证明：由PDAB，PDBC，ABBCB，得PD平面ABCD，从而PDAD.又在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 30AD2，则有AD2BD2AB2，ADB90，即ADDB.又PDDBD，则有AD平面PDB，故ADPB.(2)解：以D为原点，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，方向为z轴正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设AD，则A(，0,0)，P(0,0，)，B(0,1,0)，C，则(，1,0)，(0，1，)，.设平面APB的一个法向量为m(x1，y1，z
9、1)，则令x11，则y1，z11，故m(1，1)设平面PBC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则令x21，则有y2，z21，故n(1，1)，cosm，n，由图知，二面角APBC的余弦值为.5(1)证明：点E，F分别是AB，CD的中点，EFBC.又ABC90，AEEF.平面AEFD平面EBCF，AE平面EBCF，AEEF，AEBE，又BEEF，如图D261建立空间直角坐标系Exyz.翻折前，连接AC交EF于点G，此时点G使得AGGC最小EGBC2.又EAEB2.则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)D(0,2,2)，E(0,0,0)，G(0,2,0)，(2,2,2)，(2，2
10、,0)，(2)(2)2(2)00，BDCG.图D261(2)解：设EGk，AD平面EFCB，点D到平面EFCB的距离即为点A到平面EFCB的距离S四边形GBCF(3k)427k，VDGBCFS四边形GBCFAE(7k)，VBADGES四边形ADGEBE(2k)又2VBADGEVDGBCF，(2k)(7k)，k1，即EG1.设平面DBG的法向量为n1(x，y，z)，G(0,1,0)，(2,1,0)，(2,2,2)，则即取x1，则y2，z1，n1(1,2，1)平面BCG的一个法向量为n2(0,0,1)，则cosn1，n2，所求二面角DBFC的平面角为锐角，此二面角平面角的余弦值为.6(1)证明：如
11、图D262，过F作FOCD交CD于O，连接BO.由平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，得FO平面ABCD，因此FOOB.FBFC，FOFO，FOCFOB90，FOCFOB，OBOC，由已知DCB45，得BOC为等腰直角三角形，OBCD.又CDFO，CD平面FOB，CDFB.图D262(2)解：ABCD，AB平面CDEF，CD平面CDEF，AB平面CDEF.平面ABFE平面CDEFEF，ABEF.由(1)得OB，OC，OF两两垂直，以O为坐标原点，建立如图D262所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得FBO45，进而可得A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D
12、(0，1,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，则即可取m(1,1,0)，设平面BCF的法向量为n(x2，y2，z2)，则即可取n(1,1,1)，则cosm，n，二面角的余弦值为.7(1)证明：设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE.则DE平面ABC，DEBC.四边形ABCD是矩形，ABBC.DEABE，BC平面ABD，BCAD.又ADCD，BCCDC，AD平面BCD，而AD平面ACD，平面ACD平面BCD.(2)解法一：如图D263，在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线DM，垂足为M，连接ME.DE平面ABC，DEAC.又DMDED，AC
13、平面DME，EMAC.DME为二面角DACB的平面角设|AD|BC|a，则|AB|CD|2a.在RtABC中，ACa，在RtADC中，由射影定理，可得AM，由三角形的面积公式，可得DM.在AEM中，tanBAC，EM，cosDME.图D263解法二：以点B为原点，CB的延长线所在的直线为x轴，AB的延长线所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图D263所示设|AD|a，则|AB|2a，A(0，2a,0)，C(a,0,0)由(1)知ADBD，又2，DBA30，DAB60，那么|AE|AD|cosDABa，|BE|AB|AE|a，|DE|AD|sinDABa，D，(a,2a,0)设平面ACD的一
14、个法向量为m(x，y，z)，则 即 取y1，则x2，z，m.平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，cosm，n.二面角DACB为锐角，二面角DACB的余弦值为.8(1)证明：ABCD，BAD90，EDCBAD90.DCDA2AB，E为AD的中点，ABED，BADEDC，DBADEH.DBAADB90，DEHADB90，BDEC.PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH.又PHECH，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC.又PC平面PEC，PCBD.(2)解：由(1)知DEHDBA.又EDHBDA，DEHDBA，.又AD2 ，ABDEAD，BD5，DH2，EH1.HBBDDH523.又
15、CE5，HCCEEH514.又由DEHDBA，得DHEDAB90，ECBD.又PH平面ABCD，PHEC，PHBD，PH，EC，BD两两垂直建立以H为坐标原点，HB，HC，HP所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图D264所示图D264假设线段PC上存在一点F满足题意与共线，存在唯一实数(01)，满足，可得F(0,44，4)设向量m(x1，y1，z1)为平面CPD的一个法向量，且(0，4,4)，(2，4,0)，取x12，y1z11，则平面CPD的一个法向量为m(2，1，1)同理可得，平面BFD的一个法向量为n(0，1)设二面角BDFC的平面角为，且01，由图可知cos .，其中210，即1，即.CP4 ，线段PC上存在一点F，当点F满足CF3 时，二面角BDFC的余弦值是.
