1、第五节 数列的综合应用 数列的综合应用能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题知识点 数列的实际应用问题 知识点 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an1 的递推关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn1 之间的递推关系知识点 知识点 必备方法 解答数列应用题的
2、步骤：(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中知识点 知识点 具体解题步骤用框图表示如下：知识点 解析 试题 设至少需要 n 秒钟，则 121222n1100，12n12 100，n7.1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6 秒钟B7 秒钟C8 秒钟D9 秒钟 自测练习B知识点 知识点 解析 试题 由于凸 n 边形的内角
3、和为(n2)，故23 nnn12 36(n2).化简得 n225n1440.解得 n9 或 n16(舍去)2一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为23，公差为 36，则这个 多 边 形 的 边 数 为_9知识点 知识点 解析 试题 每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，其前n 项和 Sna11qn1q212n122n12.由 2n12100，得2n 1102.由 于 26 64,27 128，则 n17，即 n6.3某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_6知识点 考点一 典题
4、悟法 解析 试题 (1)证明：a12，a212，a354，a23a16，a33a218.又数列an 13an是等比数列，an 1 3an 63n 1 23n，an13n an3n12，数列an3n1 是等差数列 在数列an中，a12，a212，a354，数列an13an是等比数列(1)求证：数列an3n1 是等差数列；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.等差、等比数列的综合应用|演练冲关 考点一 典题悟法 解析 试题 (2)由(1)知数列an3n1 是等差数列，an3n1a130(n1)22n，an2n3n1.Sn213022312n3n1，3Sn21322322n3n.Sn 3Sn 213
5、0 213 213n12n3n213n13 2n3n3n12n3n，Snn12 3n12.在数列an中，a12，a212，a354，数列an13an是等比数列(1)求证：数列an3n1是等差数列；(2)求数列an的前 n项和 Sn.演练冲关 考点一 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题
6、的影响也是巨大的典题悟法 演练冲关 考点一 典题悟法 演练冲关 解析 试题 (1)由题意得q233d36，q2d8，解得d2q2 或d23，q6，an2n1，bn2n1，或an1352n，bn6n1.1(2016贵州七校联考)已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，a1b11，且 b3S336，b2S28(nN*)(1)求 an 和 bn；(2)若 anan1，求数列1anan1 的前n 项和 Tn.考点一 典题悟法 演练冲关 解析 试题 (2)若 anan1，由(1)知 an2n1，1anan112n12n11212n112n1，Tn12113131512n112n
7、1n2n1.1(2016贵州七校联考)已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn 为数列an的前n 项和，a1b11，且 b3S336，b2S28(nN*)(1)求 an 和 bn；(2)若 anan 1，求 数 列1anan1 的前 n 项和 Tn.考点二 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆(1)求经过 n 年，该市被更换的公交车
8、总数S(n)；(2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值数列的实际应用问题|解析 试题 (1)设 an，bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依题意，得an是首项为 128，公比为 150%32的等比数列，bn是首项为 400，公差为 a 的等差数列所以an的前 n 项和Sn128132n13225632n1，bn的前 n 项和 Tn400nnn12a.所以经过 n 年，该市被更换的公交车总数为S(n)Sn Tn 256 32n1 400n nn12a.演练冲关 典题悟法 考点二 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃
9、油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆(1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S(n)；(2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值 解析 试题 (2)若计划 7 年内完成全部更换，则 S(7)10 000，所 以2563271 4007 762a10 000，即 21a3 082，所以a1461621.又 aN*，所以 a 的最小值为 147.演练冲关 典题悟法 考点二 演练冲关 典题悟
10、法 解决数列应用题一个注意点解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，要求 an 还是Sn，特别是要弄清项数考点二 演练冲关 典题悟法 2某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污现以降低 SO2 的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨，已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度在 2012 年刚好
11、按原计划完成减排任务的条件下，自 2013年起，SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p，为使 2020 年这一年 SO2 的年排放量控制在 6 万吨以内，求 p 的取值范围参考数据：8 230.9505，9 230.955 9 解析 试题 考点二 演练冲关 典题悟法(1)设“十二五”期间，该城市共排放 SO2 约 y 万吨，依题意，2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3，公差为0.3 的等差数列，所以 y59.35512(0.3)43.5(万吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨(2)由已知得，2012 年的 SO2 年排放
12、量为 9.30.39(万吨)，所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9，公比为 1p 的等比数列由题意得 9(1p)86，由于 0p1，所以 1p8 23，所以 1p4.95%.所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围为(4.95%,1)解析 试题 考点三 典题悟法 演练冲关 证明 试题 (1)由题意得 an1ana2n0，即 an1an，故 an12.由 an(1an1)an1 得an (1 an 1)(1 an 2)(1a1)a10.由 0an12得anan1anana2n11an1,2，即1 anan12.(2015高考浙江卷)已知数列an满足
13、 a112且 an1ana2n(nN*)(1)证明：1 anan12(nN*)；(2)设数列a2n的前 n 项和为 Sn，证明：12n2Snn 12n1(nN*)数列与不等式的综合问题|考点三 典题悟法 演练冲关 证明 试题 (2)由题意得 a2nanan1，所以 Sna1an1.由 1an1 1an anan1 和 1 anan1 2 得1 1an1 1an2，所以 n 1an1 1a12n，因此12n1an1 1n2(nN*)由 得12n2 Snn 12n1(n N*)(2015高考浙江卷)已知数列an满足 a112且 an1ana2n(nN*)(1)证明：1 anan12(nN*)；(2
14、)设数列a2n的前 n 项和为 Sn，证明：12n2Snn 12n1(nN*)考点三 典题悟法 演练冲关 数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等考点三 典题悟法 演练冲关 解析 试题 (1)bn1an1，an12 1an，bn11an111an11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为 1 的等差数列由 a135，bn1an1得 b152，Sn5n2 nn12n22 3n.3(2016云南一检)在数列an中，a135，an12
15、1an，设 bn1an1，数列bn的前 n 项和是 Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求 Sn；(2)比较 an 与 Sn7 的大小考点三 典题悟法 演练冲关 解析 试题 (2)由(1)知：bn52n1n72.由 bn1an1得 an1 1bn1 1n72.anSn7n22 3n6 1n72.当 n4 时，yn22 3n6 是减函数，y 1n72也是减函数，当 n4 时，anSn7a4S470.又a1S1739100，a2S27830，a3S37720，nN*，anSn70，anSn7.3(2016云南一检)在数列an中，a135，an 12 1an，设 bn1an1，数列bn的前 n项和
16、是 Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求 Sn；(2)比较 an 与 Sn7 的大小答题模板系列 思路点拨 试题 思路点拨 由 Sn2ana1，得 a22a1，a34a1，再通过 a1，a21，a3 成等差数列确定首项 a12 是解决(1)的切入点；由(1)知1an 是首项为12，公比为12的等比数列，所以 Tn1 12n，然后解不等式即可【典例】(12 分)(2015高考四川卷)设数列an(n1,2,3，)的前 n 项和 Sn 满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1an 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|11 000成立的
17、 n 的最小值6.数列的综合应用的答题模板答题模板系列 规范解答 试题 规范解答(1)由已知 Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即 an2an1(n2)所以 a2.从而 a22a1，a32a24a1.(2 分)又因为 a1，a21，a3 成等差数列，即 a1a32(a21)所以 a14a12(2a11)，解得 a12.所以，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 an2n.(6 分)【典例】(12 分)(2015高考四川卷)设数列an(n1,2,3，)的前n 项和 Sn 满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数
18、列1an 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|11 000成立的 n 的最小值答题模板系列 规范解答 试题 (2)由(1)得 1an 12n.所以 Tn12 122 12n12112n1121 12n.(8 分)由|Tn1|11 000，得1 12n1 1 000.因为 295121 0001 024210，所以 n10.(10 分)于是，使|Tn1|11 000成立的 n 的最小值为 10.(12 分)【典例】(12 分)(2015高考四川卷)设数列an(n1,2,3，)的前n 项和 Sn 满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1
19、an 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|11 000成立的 n 的最小值模板形成 答题模板系列 解析 试题 (1)由题意得(1a2)2a1(a31)，即112a12a114a11，解得 a112，an12n.设bn的公差为 d，又T1b2，T22b3，即88d，16d282d，解得12，d8或1，d0(舍)，12.跟踪练习(2015湖北七市联考)数列an是公比为12的等比数列，且 1a2 是 a1与 1a3 的等比中项，前 n 项和为 Sn；数列bn是等差数列，b18，其前 n 项和 Tn 满足Tnnbn1(为常数，且 1)(1)求数列an的通项公式及 的值；(2)比较 1T1 1T2
20、1T3 1Tn与12Sn 的大小答题模板系列 解析 试题 (2)由(1)知 Sn112n，12Sn1212n114，又 Tn4n24n，1Tn14nn1141n 1n1，1T1 1T2 1Tn14112 1213 1n 1n1141 1n1 14，由可知 1T1 1T2 1Tn12Sn.跟踪练习(2015湖北七市联考)数列an是公比为12的等比数列，且 1a2 是 a1与 1a3 的等比中项，前 n 项和为 Sn；数列bn是等差数列，b18，其前 n 项和 Tn 满足Tnnbn1(为常数，且 1)(1)求数列an的通项公式及 的值；(2)比较 1T1 1T2 1T3 1Tn与12Sn 的大小答题模板系列 课时 跟踪检测 本课内容结束
